重心



$\quad 三角形の各頂点とそれぞれの対辺の中点を結ぶ線分を中線という。$

$\quad 定理 \quad 三角形の \ 3\ つの中線は \ 1\ 点で交わる。$

　
$この点を三角形の$ 重心 $という。$


$証明$

$\triangle ABC \ \ において、3\ 辺 \ BC,\ CA,\ ABの中点をそれぞれ \ D,\ E,\ F\ とし、$

$中線 \ AD\ と \ BE\ の交点を \ G\ とする。$

　
$中点連結の定理より \quad ED /\!/AB,\quad ED=\cfrac{1}{2}AB$

$よって、平行線の性質から \quad AG:GD=AB:ED=2:1$

$同様にして、中線 \ AD\ と \ CF\ の交点を \ G'\ とすると$

　 $ FD /\!/AC,\quad FD=\cfrac{1}{2}AC \quad より$

$\quad AG':GD=AC:FD=2:1$

$よって、G\ と \ G'\ はともに線分 \ AD\ を \ 2:1\ に内分する点だから$

$G=G'\ \ である。$

$したがって、3\ つの中線は \ 1\ 点で交わる。$

$また、証明からわかるように $点Gは各中線を 2:1 に内分する点$である。$


$なお、物理的な重心については$質量中心（重心)$をご覧ください。$


ページの先頭へ↑



三角形の5心メニュー　に戻る


メインメニュー　に戻る