ミンコフスキーの不等式


\[a_i \geqq 0,\ \ b_i \geqq 0 \ \ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n ),\ \ p>1 \ \ のとき \quad \big\{\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p \big\}^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}} \leqq \big(\sum_{i=1}^n a_i^p \big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}} + \big(\sum_{i=1}^n b_i^p \big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}} \] $\qquad 等号は \quad \cfrac{a_1}{b_1}= \cfrac{a_2}{b_2}= \cdots = \cfrac{a_n}{b_n} \quad のとき、ただし \quad b_i=0 \ \ のときは \ \ a_i=0\ \ とする$


$(証明)$

\[T=\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p \quad とおくと\] \[T=\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)(a_i+b_i)^{p-1}=\sum_{i=1}^n a_i(a_i+b_i)^{p-1}+\sum_{i=1}^n b_i(a_i+b_i)^{p-1}\] $ここで \quad \cfrac{1}{p}+\cfrac{1}{q}=1 \quad すなわち \quad p=q(p-1)\quad をみたす \ q\ をとるとヘルダーの不等式より$
$\quad (このことについては$ ヘルダーの不等式 $をご覧ください。)$

\begin{eqnarray*} & &\sum_{i=1}^n a_i(a_i+b_i)^{p-1}\\ \\ & \leqq& \big(\sum_{i=1}^n a_i^p\big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}} \cdot \big(\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^{(p-1)q}\big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{q}}} \\ \\ &=& \big(\sum_{i=1}^n a_i^p\big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}} \cdot \big(\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p \big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{q}}} \\ \\ &=& \big(\sum_{i=1}^n a_i^p\big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}} \cdot T^{\scriptsize{\cfrac{1}{q}}} \hspace{11em}(1)\\ \end{eqnarray*} $同様にして$
\[\qquad \sum_{i=1}^n b_i(a_i+b_i)^{p-1} \leqq \big(\sum_{i=1}^n b_i^p\big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}} \cdot T^{\scriptsize{\cfrac{1}{q}}} \hspace{3em}(2)\] $(1)+(2) の左辺が \ T\ であるから$
\[T \leqq \big(\sum_{i=1}^n a_i^p\big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}} \cdot T^{\scriptsize{\cfrac{1}{q}}} + \big(\sum_{i=1}^n b_i^p\big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}} \cdot T^{\scriptsize{\cfrac{1}{q}}} \] \[T \leqq \big\{\big(\sum_{i=1}^n a_i^p\big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}} + \sum_{i=1}^n b_i^p\big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}}\big\} T^{\scriptsize{\cfrac{1}{q}}} \] \[T^{1- {\scriptsize{\cfrac{1}{q}}}} \leqq \big(\sum_{i=1}^n a_i^p\big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}} + \big(\sum_{i=1}^n b_i^p\big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}}\] \[T^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}} \leqq \big(\sum_{i=1}^n a_i^p\big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}} + \big(\sum_{i=1}^n b_i^p\big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}}\] \[\therefore \ \ \big(\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p\big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}} \leqq \big(\sum_{i=1}^n a_i^p\big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}} + \big(\sum_{i=1}^n b_i^p\big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}}\]
$等号は$

$\cfrac{(a_1+b_1)^p}{a_1^p}= \cfrac{(a_2+b_2)^p}{a_2^p}=\cdots = \cfrac{(a_n+b_n)^p}{a_n^p} \quad すなわち \quad \cfrac{a_1+b_1}{a_1}= \cfrac{a_2+b_2}{a_2}=\cdots = \cfrac{a_n+b_n}{a_n} \quad のときだから$

$\quad \cfrac{b_1}{a_1}= \cfrac{b_2}{a_2}= \cdots = \cfrac{b_n}{a_n} \quad よって \quad \cfrac{a_1}{b_1}= \cfrac{a_2}{b_2}= \cdots = \cfrac{a_n}{b_n} \quad のとき$


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