ミンコフスキー距離
$定理 \quad n\ 次元空間の点 \ P(x_1,\ x_2,\ \cdots , \ x_n),\ \ Q(y_1,\ y_2,\ \cdots ,\ y_n),\ \ R(z_1,\ z_2,\ \cdots ,\ z_n)\ \ に対して$
\[p \geqq 1 \ \ のとき \quad \big(\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p \big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}}+ \big(\sum_{i=1}^n |y_i-z_i|^p \big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}} \geqq \big(\sum_{i=1}^n |x_i-z_i|^p \big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}}\]
$この定理は、ミンコフスキー距離が三角不等式 \ \ PQ+QR >PR \ \ をみたすことを示している。$
$(証明)$
$a_i=|x_i-y_i|,\quad b_i=|y_i-z_i| \quad とおくと$
$a_i+ b_i=|x_i-y_i|+|y_i-z_i| \geqq |(x_i-y_i)+(y_i-z_i)|=|x_i-z_i| \quad だから$
$ミンコフスキーの不等式($ ミンコフスキーの不等式 $)より$
\begin{eqnarray*} & &PQ+QR\\ \\ &=&\big(\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p \big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}}+ \big(\sum_{i=1}^n |y_i-z_i|^p \big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}}\\ \\ &=&\big(\sum_{i=1}^n a_i^p \big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}}+ \big(\sum_{i=1}^n b_i^p \big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}}\\ \\ &\geqq& \big(\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p \big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}}\\ \\ &\geqq&\big(\sum_{i=1}^n |x_i-z_i|^p \big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}}\\ \\ &=&PR \end{eqnarray*}
$とくに$
\[p=1\ \ の場合は \quad PQ=\sum_{i=1}^n |x_i-y_i| \quad となり、マンハッタン距離といわれています。\] \[p=2\ \ の場合は \quad PQ=\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2 } \quad となり、お馴染みのユークリッド距離を表します。\] $次に、p \longrightarrow \infty \quad としたときについて調べましょう。$
$(予備定理)$
$\quad a_i > 0\ \ (i=1,\ 2,\ \cdots ,\ n)\ \ のとき \quad p \longrightarrow \infty \quad とすると \quad A_n=(a_1^p+a_2^p+\cdots +a_n^p)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}} \longrightarrow \max(a_1,a_2,\cdots,a_n)$
$(証明)$
$\max(a_1,a_2,\cdots,a_n)=a_0 \quad とおく$
\begin{eqnarray*} \log A_n &=&\cfrac{1}{p}\log(a_1^p+a_2^p+\cdots +a_n^p)\\ \\ &\leqq& \cfrac{1}{p}\log na_0^p\\ \\ &=& \cfrac{1}{p}(\log n +p\log a_0)\\ \\ &=& \cfrac{\log n}{p} +\log a_0\\ \end{eqnarray*} $p \longrightarrow \infty \quad とすると \quad A_n \longrightarrow a_0$
$したがって、\max(|x_1-y_1|,\ |x_2-y_2|,\ \cdots ,\ |x_n-y_n|)=|x_0-y_0| \quad とおくと$
\[\qquad \lim _{p \rightarrow \infty} \big(\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p \big)^{\scriptsize{\cfrac{1}{p}}}=|x_0-y_0|\] $これをチェビシェフ距離といいます。$
メインメニュー に戻る