球面座標のラプラシアン
$物理現象を勉強しているといたる所でラプラシアンが顔を出します。$
$事象が球対称な場合には直角座標よりも球面座標（空間極座標）$
$の方が扱いが簡単になりますので、球面座標によるラプラシアンが$
$必要となります。$
$ここでは、２階微分をダイレクトに力づくで出さずに、遠回り$
$ですが、ベクトル解析を使ってエレガント(?)に導きましょう。$
$球面座標(空間極座標ともいいます)は右図の$
$とおりで$
\[
\left\{ \begin{array}{l}
x=r\sin \theta \cos \varphi \\
y=r\sin \theta \sin \varphi \\
z=r\cos \theta \\
\end{array} \right.
\]
$ただし r >0 ,\ \ 0 \leqq \theta \leqq \pi , \ \ 0 \leqq \varphi < 2\pi $
$と表されます。\ \ \boldsymbol {r}=(x,y,z) \ \ とすると$
$\cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial r}=(\sin \theta \cos \varphi,\ \sin \theta \sin \varphi , \ \cos \theta )$
$\cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial \theta}=(r\cos \theta \cos \varphi,\ r\cos \theta \sin \varphi , \ -r\sin \theta )$
$\cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial \varphi}=(-r\sin \theta \sin \varphi,\ r\sin \theta \cos \varphi , 0)$
$したがって$
$\cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial r} \cdot \cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial \theta}=r\sin \theta \cos \theta \cos ^2 \varphi +r\sin \theta \cos \theta \sin ^2 \varphi -r\sin \theta \cos \theta =r\sin \theta \cos \theta -r\sin \theta \cos \theta =0$
$\cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial \theta} \cdot \cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial \varphi}=-r^2\sin \theta \cos \theta \sin \varphi \cos \varphi +r^2\sin \theta \cos \theta \sin \varphi \cos \varphi =0$
$\cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial \varphi} \cdot \cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial r}=-r\sin ^2\theta \sin \varphi \cos \varphi +r\sin ^2\theta \cos \varphi \sin \varphi =0$
$r 曲線、\theta 曲線、\varphi 曲線の接線ベクトルは互いに垂直で、グラフは下図のとおりです。$
\begin{eqnarray*}
h_1&=&\sqrt{\big(\cfrac{\partial x}{\partial r}\big)^2+\big(\cfrac{\partial y}{\partial r}\big)^2+\big(\cfrac{\partial z}{\partial r}\big)^2}\\
\\
&=&\sqrt{(\sin \theta \cos \varphi)^2+(\sin \theta \sin \varphi )^2+\cos ^2 \theta }\\
\\
&=&\sqrt{\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta }\\
\\
&=& 1\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
h_2&=&\sqrt{\big(\cfrac{\partial x}{\partial \theta}\big)^2+\big(\cfrac{\partial y}{\partial \theta}\big)^2+\big(\cfrac{\partial z}{\partial \theta}\big)^2}\\
\\
&=&\sqrt{(r\cos \theta \cos \varphi)^2+(r\cos \theta \sin \varphi )^2+(-r\sin \theta)^2 }\\
\\
&=&\sqrt{r^2\cos ^2 \theta + r^2\sin ^2 \theta }\\
\\
&=& r\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
h_3&=&\sqrt{\big(\cfrac{\partial x}{\partial \varphi}\big)^2+\big(\cfrac{\partial y}{\partial \varphi}\big)^2+\big(\cfrac{\partial z}{\partial \varphi}\big)^2}\\
\\
&=&\sqrt{(-r\sin \theta \sin \varphi)^2+(r\sin \theta \cos \varphi )^2}\\
\\
&=&\sqrt{r^2\sin ^2 \theta }\\
\\
&=& r\sin \theta \\
\end{eqnarray*}
$以上で、球面座標のラプラシアンが求まります。$
\begin{eqnarray*}
\nabla ^2 \psi
&=&\cfrac{1}{r^2\sin \theta }\left \{\cfrac{\partial}{\partial r}\big(r^2\sin \theta \cfrac{\partial \psi}{\partial r}\big)
+\cfrac{\partial}{\partial \theta }\big(\sin \theta \cfrac{\partial \psi}{\partial \theta}\big)
+\cfrac{\partial}{\partial \varphi}\big(\cfrac{1}{\sin \theta }\cfrac{\partial \psi}{\partial \varphi}\big)\right \}\\
\\
&=&\cfrac{1}{r^2}\cfrac{\partial}{\partial r}\big(r^2\cfrac{\partial \psi}{\partial r}\big)
+\cfrac{1}{r^2\sin \theta }\cfrac{\partial}{\partial \theta }\big(\sin \theta \cfrac{\partial \psi}{\partial \theta}\big)
+\cfrac{1}{r^2\sin ^2 \theta }\cfrac{\partial ^2 \psi}{\partial \varphi ^2}\\
\end{eqnarray*}
$\qquad 球面座標によるラプラシアン$
$\hspace{4em} \nabla ^2 \psi
=\cfrac{1}{r^2}\cfrac{\partial}{\partial r}\big(r^2\cfrac{\partial \psi}{\partial r}\big)
+\cfrac{1}{r^2\sin \theta }\cfrac{\partial}{\partial \theta }\big(\sin \theta \cfrac{\partial \psi}{\partial \theta}\big)
+\cfrac{1}{r^2\sin ^2 \theta }\cfrac{\partial ^2 \psi}{\partial \varphi ^2}$
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