MY MATH NOTE

　直交曲線座標のラプラシアン

　
$v=c_2,\ \ w=c_3 \ \ (c_2,c_3 は定数)\ はそれぞれ曲面をあらわ$
$しますが、この2つの曲面の交線をu曲線といいます。$
$v曲線、w曲線も同様です。$

$点P(u,v,w)でu曲線に接し、uの値が増加する方向を$
$正にとった単位ベクトルを\vec uとします。\vec v,\vec wも同様です。$

$\vec u,\ \ \vec v,\ \ \vec wが互いに直交するとき、u,v,wを直交曲線座標と$
$いいますが、ここでは、直交曲線座標を扱います。$


$(2)\ \ 線素$

$u曲線の線素(弧長) \ \ ds_1 \ \ は \ v,w\ が一定だから$
\begin{eqnarray*} ds_1 ^2&=&dx ^2+dy ^2 +dz ^2\\ &=&\big(\cfrac{\partial x}{\partial u}du \big)^2+\big(\cfrac{\partial y}{\partial u}du \big)^2+\big(\cfrac{\partial z}{\partial u}du \big)^2\\ &=&\left \{\big(\cfrac{\partial x}{\partial u}\big)^2+\big(\cfrac{\partial y}{\partial u} \big)^2+\big(\cfrac{\partial z}{\partial u} \big)^2\right \}du ^2\\ \end{eqnarray*} $\quad h_1=\sqrt{\big(\cfrac{\partial x}{\partial u}\big)^2+\big(\cfrac{\partial y}{\partial u} \big)^2+\big(\cfrac{\partial z}{\partial u} \big)^2}\ \ とおくと　\quad ds_1=h_1du$

$v曲線,w曲線の線素 \ \ ds_2,ds_3 についても同様にして \quad ds_2=h_2dv ,\quad ds_3=h_3dw$

$したがって \qquad \cfrac{du}{ds_1}=\cfrac{1}{h_1},　\quad \cfrac{dv}{ds_2}=\cfrac{1}{h_2} ,\quad \cfrac{dw}{ds_3}=\cfrac{1}{h_3}$


$(3)\ \ ベクトル関数の偏微分$

$\boldsymbol{A}=\vec A =(A_x,A_y,A_z)で各成分がu,v,wの関数であるとき、ベクトル \big(\cfrac{\partial A_x}{\partial u},\cfrac{\partial A_y}{\partial u},\cfrac{\partial A_z}{\partial u}\big)$

$を\boldsymbol{A}の偏微分といい、\cfrac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial u}とかきます。\cfrac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial v},\quad \cfrac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial z}についても同様です。$


$点P(x,y,z)の位置ベクトルを \ \vec r \ とする。x,y,z,がu,v,wの関数、すなわち$

$x=x(u,v,w),\ \ y=y(u,v,w),\ \ z=z(u,v,w)のとき \ \ \cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u} \ \ は \ v,w \ を一定にしたときの$

$\boldsymbol{r} \ の変化率(微分係数)だから \ u \ 曲線の接線ベクトルです。$

$同様に、\cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v},\quad \cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial w}は、それぞれ \ v\ 曲線,w曲線の接線ベクトルになります。$


$直交曲線座標では、\vec u,\ \vec w ,\ \vec w \ は互いに直交するから、\cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial u}, \ \ \cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial v},\ \ \cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial w} \ \ も互いに直交します。$

$したがって　\cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial u} \cdot \cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial v}=0,\quad \cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial v} \cdot \cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial w}=0, \quad \cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial w} \cdot \cfrac{\partial \boldsymbol r}{\partial u}=0$


$(4)\ \ \vec u と\nabla u の位置関係$

$u曲線は、2つの曲面 \ v=c_2 \ \ と \ \ \ w=c_3 \ \ の交線だから、その上の点Pにおける$
$接線ベクトル \ \vec u \ の \ v\ 成分、w \ 成分ともに0です。$

　
$一方、曲面 \ u=c_1 \ 上の点P(c_1,v,w)の位置ベクトルを \ \boldsymbol{r} \ とすると$
$v成分方向 、w成分方向の接線ベクトルはそれぞれ、$

$\qquad \cfrac{\partial \boldsymbol {r}}{\partial v},\ \ \cfrac{\partial \boldsymbol {r}}{\partial w} \ \ だから \ \ \cfrac{\partial \boldsymbol {r}}{\partial v} \times \cfrac{\partial \boldsymbol {r}}{\partial w} \ \ は$

$この2つの接線ベクトルがつくる接平面に垂直な$
$法線ベクトル \ \vec n \ \ であり、それは \ \vec u \ 方向となります。$

$したがって、\vec u と\vec n は同じ向きとなり、\nabla u と\vec n は同じ向きだったから、$

$\qquad \vec u \ と \ \nabla u \ は同じ向き$

　
$同様にして　\vec v \ と\nabla v \ 、\vec w \ と\nabla w \ も同じ向きです。$

$1と2で、スカラー関数 \ u=u(x,y,z)\ の勾配 \ \nabla u \ の$
$大きさは、曲面の法線方向に対するuの方向微分係数に$
$等しいことを示しました。$

$よって　\nabla u=\cfrac{du}{ds_1}\vec u=\cfrac{1}{h_1}\vec u$

$同様にして　\nabla v=\cfrac{dv}{ds_2}\vec v=\cfrac{1}{h_2}\vec v,\quad \nabla w=\cfrac{dw}{ds_3}\vec w=\cfrac{1}{h_3}\vec w$

$したがって \quad \vec u=h_1\nabla u,\quad \vec v=h_2\nabla v,\quad \vec w=h_3\nabla w$


$(5)\ \ 直交曲線座標によるラプラシアン$

(i)$\ \ 勾配$

$\psi=\psi(u,v,w) の勾配は$
\begin{eqnarray*} \nabla \psi &=&\cfrac{\partial \psi}{\partial x}\vec i+ \cfrac{\partial \psi}{\partial y} \vec J + \cfrac{\partial \psi}{\partial z}\vec k \\ &=&\big(\cfrac{\partial \psi}{\partial u}\cfrac{\partial u}{\partial x}+\cfrac{\partial \psi}{\partial v}\cfrac{\partial v}{\partial x}+\cfrac{\partial \psi}{\partial w}\cfrac{\partial w}{\partial x}\big)\vec i + \big(\cfrac{\partial \psi}{\partial u}\cfrac{\partial u}{\partial y}+\cfrac{\partial \psi}{\partial v}\cfrac{\partial v}{\partial y}+\cfrac{\partial \psi}{\partial w}\cfrac{\partial w}{\partial y}\big)\vec j\\ &\hspace{1em}& +\big(\cfrac{\partial \psi}{\partial u}\cfrac{\partial u}{\partial z}+\cfrac{\partial \psi}{\partial v}\cfrac{\partial v}{\partial z}+\cfrac{\partial \psi}{\partial w}\cfrac{\partial w}{\partial z}\big)\vec k\\ &=&\cfrac{\partial \psi}{\partial u}\big(\cfrac{\partial u}{\partial x}\vec i+\cfrac{\partial u}{\partial y}\vec j+\cfrac{\partial u}{\partial z}\vec k \big) + \cfrac{\partial \psi}{\partial v}\big(\cfrac{\partial v}{\partial x}\vec i+\cfrac{\partial v}{\partial y}\vec j+\cfrac{\partial v}{\partial z}\vec k \big) + \cfrac{\partial \psi}{\partial w}\big(\cfrac{\partial w}{\partial x}\vec i+\cfrac{\partial w}{\partial y}\vec j+\cfrac{\partial w}{\partial z}\vec k \big)\\ &=&\cfrac{\partial \psi}{\partial u}\nabla u +\cfrac{\partial \psi}{\partial v}\nabla v +\cfrac{\partial \psi}{\partial w}\nabla w\\ &=&\cfrac{\partial \psi}{\partial u}\cfrac{1}{h_1}\vec u +\cfrac{\partial \psi}{\partial v}\cfrac{1}{h_2}\vec v +\cfrac{\partial \psi}{\partial w}\cfrac{1}{h_3}\vec w \\ &=&\cfrac{1}{h_1}\cfrac{\partial \psi}{\partial u}\vec u +\cfrac{1}{h_2}\cfrac{\partial \psi}{\partial v}\vec v +\cfrac{1}{h_3}\cfrac{\partial \psi}{\partial w}\vec w\\ \end{eqnarray*}
$よって　\nabla \psi =A_u\vec u+A_v\vec v +A_w\vec w \ \ とおくと$

$\qquad A_u=\cfrac{1}{h_1}\cfrac{\partial \psi}{\partial u},\quad A_v=\cfrac{1}{h_2}\cfrac{\partial \psi}{\partial v},\quad A_w=\cfrac{1}{h_3}\cfrac{\partial \psi}{\partial w}$


(ii)$\ \ 発散$

$\vec u,\ \vec v,\ \vec w \ \ は互いに直交する単位ベクトルだから$

$\qquad \vec u=\vec v \times \vec w,\quad \vec v=\vec w \times \vec u,\quad \vec w=\vec u \times \vec v$

$\vec u=h_1\nabla u,\quad \vec v=h_2\nabla v,\quad \vec w=h_3\nabla w \ \ を代入して$

$\qquad \vec u=\vec v \times \vec w=h_2\nabla v \times h_3 \nabla w=h_2h_3\nabla v \times \nabla w$
$\qquad \vec v=\vec w \times \vec u=h_3\nabla w \times h_1 \nabla w=h_3h_1\nabla w \times \nabla u$
$\qquad \vec w=\vec u \times \vec v=h_1\nabla u \times h_2 \nabla w=h_1h_2\nabla u \times \nabla v$
\begin{eqnarray*} \nabla \cdot \boldsymbol{A} &=&\nabla \cdot (A_u\vec u+A_v\vec v + A_w\vec w )\\ \\ &=&\nabla \cdot (A_u\vec u)+\nabla \cdot (A_v\vec v)+\nabla \cdot (A_w\vec w)\\ \end{eqnarray*}
$\nabla \cdot (A_u\vec u) について、 (4)公式$(i)$を用いて$
\begin{eqnarray*} \nabla \cdot (A_u\vec u)&=&\nabla \cdot (A_u h_2h_3\nabla v \times \nabla w)\\ \\ &=&\nabla (A_u h_2h_3) \cdot (\nabla v \times \nabla w)+A_u h_2h_3\nabla \cdot (\nabla v \times \nabla w)\\ \end{eqnarray*} $第1項は、(3)の結果を用いて$
\begin{eqnarray*} 第1項&=&\left \{\cfrac{1}{h_1}\cfrac{\partial}{\partial u}(A_uh_2h_3)\vec u+\cfrac{1}{h_2}\cfrac{\partial}{\partial v}(A_uh_2h_3)\vec v+\cfrac{1}{h_3}\cfrac{\partial}{\partial w}(A_uh_2h_3)\vec w \right \}\cdot (\cfrac{1}{h_2}\vec v \times \cfrac{1}{h_3} \vec w)\\ \\ &=&\left \{\cfrac{1}{h_1}\cfrac{\partial}{\partial u}(A_uh_2h_3)\vec u+\cfrac{1}{h_2}\cfrac{\partial}{\partial v}(A_uh_2h_3)\vec v+\cfrac{1}{h_3}\cfrac{\partial}{\partial w}(A_uh_2h_3)\vec w \right \}\cdot \big(\cfrac{1}{h_2h_3}\vec u \big)\\ \\ &=&\cfrac{1}{h_1h_2h_3}\cfrac{\partial}{\partial u}(A_uh_2h_3)\vec u \cdot \vec u\\ \\ &=&\cfrac{1}{h_1h_2h_3}\cfrac{\partial}{\partial u}(A_uh_2h_3)\\ \end{eqnarray*}
$第2項は、(4)公式$(ii)(iii)$を用いて$

$\qquad 第2項=\nabla \cdot (\nabla v \times \nabla w)=\nabla w \cdot (\nabla \times \nabla v)-\nabla v \cdot (\nabla \times \nabla w)=\vec 0$

$よって \quad \nabla \cdot (A_u \vec u)=\cfrac{1}{h_1h_2h_3}\cfrac{\partial}{\partial u}(A_uh_2h_3)$

$同様にして \quad \nabla \cdot (A_v \vec v)=\cfrac{1}{h_1h_2h_3}\cfrac{\partial}{\partial v}(A_vh_3h_1),\quad \nabla \cdot (A_w \vec w)=\cfrac{1}{h_1h_2h_3}\cfrac{\partial}{\partial w}(A_wh_1h_2)$

\begin{eqnarray*} \nabla \cdot \boldsymbol{A} &=&\cfrac{1}{h_1h_2h_3}\left \{\cfrac{\partial}{\partial u}(h_2h_3A_u)+\cfrac{\partial}{\partial v}(h_3h_1A_v)+\cfrac{\partial}{\partial w}(h_1h_2A_w)\right \}\\ \\ &=&\cfrac{1}{h_1h_2h_3}\left \{\cfrac{\partial}{\partial u}\big(h_2h_3\cfrac{1}{h_1}\cfrac{\partial \psi}{\partial u}\big) +\cfrac{\partial}{\partial v}\big(h_3h_1\cfrac{1}{h_2}\cfrac{\partial \psi}{\partial v}\big)+ +\cfrac{\partial}{\partial w}\big(h_1h_2\cfrac{1}{h_3}\cfrac{\partial \psi}{\partial w}\big)\right \}\\ \end{eqnarray*}
$ここで、\boldsymbol{A}=\nabla \psi \ \ とおくと \quad 左辺=\nabla \cdot \nabla \psi =\nabla ^2 \psi \ \ だから$

$直交曲線座標のラプラシアンを求める公式は!!$

$\qquad \nabla ^2 \psi =\cfrac{1}{h_1h_2h_3}\left \{\cfrac{\partial}{\partial u}\big(\cfrac{h_2h_3}{h_1}\cfrac{\partial \psi}{\partial u}\big) +\cfrac{\partial}{\partial v}\big(\cfrac{h_3h_1}{h_2}\cfrac{\partial \psi}{\partial v}\big) +\cfrac{\partial}{\partial w}\big(\cfrac{h_1h_2}{h_3}\cfrac{\partial \psi}{\partial w}\big)\right \}$

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