方向微分係数



$(1)\ \ 方向余弦$

$ベクトル \boldsymbol{A}=(A_x,A_y,Az)がx軸,y軸,z軸となす角をそれぞれ \alpha,\beta , \gamma \ \ とし、$

$A=|\boldsymbol{A}|=\sqrt{A_x ^2+A_y ^2+A_z ^2} \ \ とすると$

$\qquad A_x=A\cos \alpha ,\quad A_y=A\cos \beta ,\quad A_z=A\cos \gamma$

$\cos \alpha ,\quad \cos \beta ,\quad \cos \gamma \ \ を\boldsymbol{A}\ \ の方向余弦といいます。このとき$

$\qquad \cos ^2 \alpha + \cos ^2 \beta + \cos ^2 \gamma = \big(\cfrac{A_x}{A}\big)^2+\big(\cfrac{A_y}{A}\big)^2+\big(\cfrac{A_z}{A}\big)^2=\cfrac{A^2}{A^2}=1$


$(2)\ \ 方向微分係数$

　
$曲線C上の任意の点をP(x,y,z),\ Q(x',y',z'),\ C上の$
$スカラー関数を \ \psi(x,y,z) \ とする。$
$曲線C上で、点Pから点Qまでの長さをsとすると$
$点Qはsの関数として　x'=x(s),\ \ y'=y(s),\ \ z'=z(s)$
$とおけます。$

\[極限値　\lim _{s \rightarrow 0}\cfrac{\psi(Q)-\psi(P)}{s} \ \ が存在するならば\] $これを \ \ \cfrac{d\psi}{ds} \ \ とかき、点Pにおける\psi の方向微分係数といいます。$

$\qquad \cfrac{d\psi}{ds}=\cfrac{\partial \psi}{\partial x}\cfrac{dx}{ds}+ \cfrac{\partial \psi}{\partial y}\cfrac{dy}{ds}+\cfrac{\partial \psi}{\partial z}\cfrac{dz}{ds} \ \ で$

$\qquad l=\cfrac{dx}{ds},\ \ m=\cfrac{dy}{ds},\ \ n=\cfrac{dz}{ds}\ \ は点Pにおける接線の方向余弦で 単位ベクトル$

$\quad \vec u=(l,m,n) \ \ を用いて$

$\qquad \cfrac{d\psi}{ds}=l\cfrac{\partial \psi}{\partial x}+ m\cfrac{\partial \psi}{\partial y}+n\cfrac{\partial \psi}{\partial z}=(l,m,n) \cdot \big(\cfrac{\partial \psi}{\partial x},\cfrac{\partial \psi}{\partial y},\cfrac{\partial \psi}{\partial z}\big)=\vec u \cdot \nabla \psi $

$したがって、\psiの方向微分係数　\cfrac{d\psi}{ds}　は \ \nabla \psi \ の \ \vec u \ \ への正射影になります。$
$\nabla \psi と\vec u のなす角を\theta とすると \quad \vec u \cdot \nabla \psi =|\vec u ||\nabla \psi |\cos \theta =|\nabla \psi |\cos \theta$
$\theta =0 \ のとき、すなわち \ \ \vec u \ と \ \nabla \psi \ \ の向きが一致したとき、 \cfrac{d\psi}{ds}　\ \ は最大で、$
$最大値は　|\nabla \psi | \ となります。$

$\psi の方向微分係数を、点Pにおける曲面 \ \psi(x,y,z)=C \ の法線ベクトル \ \vec n \ の方向でとると$

$\qquad \cfrac{d\psi}{ds}=\vec n \cdot \nabla \psi　\ \ とおけます。$

$また、1(1)より \ \ \nabla \psi \ \ の向きは、点Pにおける曲面 \ \ \psi(x,y,z)=c \ \ の法線ベクトルの向きと等しいから$

$\qquad \nabla \psi=k\vec n \quad (kは実数) \ \ とおけますので$

$\qquad \cfrac{d\psi}{ds}=\vec n \cdot k\vec n=k|\vec n |^2=k$

$よって \qquad \nabla \psi=\cfrac{d\psi}{ds} \vec n $



　

ページの先頭へ↑




メインメニュー　に戻る