フーリェ級数の複素数表示
\[a_n=\cfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx, \qquad b_n=\cfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx \] $で、n\ は正の整数であるが、n \longrightarrow -n \quad とおいて負の整数まで拡張する。$
\[a_{-n}=\cfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos (-n)xdx=\cfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx\] \[b_{-n}=\cfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin (-n)xdx=-\cfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx\] $これより \quad a_{-n}=a_n,\quad b_{-n}=-b_n$
$オイラーの公式 \quad e^{inx}=\cos nx + i\sin nx \quad より \quad e^{-inx}=\cos nx - i\sin nx$
$\quad \therefore \ \ \cos nx=\cfrac{e^{inx} + e^{-inx}}{2},\qquad \sin nx=\cfrac{e^{inx} - e^{-inx}}{2i}$
$よって$
\begin{eqnarray*} f(x) &=&\cfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n\cos nx+b_n\sin nx)\\ &=&\cfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \big(a_n \cdot \cfrac{e^{inx} + e^{-inx}}{2} +b_n \cdot \cfrac{e^{inx} - e^{-inx}}{2i}\big)\\ &=&\cfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \big(\cfrac{a_n-ib_n}{2}e^{inx} + \cfrac{a_n+ib_n}{2}e^{-inx} \big)\\ \end{eqnarray*} $ここで c_n=\cfrac{a_n-ib_n}{2} \quad とおくと \quad c_{-n}=\cfrac{a_{-n}-ib_{-n}}{2}=\cfrac{a_n+ib_n}{2}$
$\quad b_0=0 \quad とすると \quad c_0=\cfrac{a_0}{2}$
$よって$
\begin{eqnarray*} f(x) &=&\cfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \big(\cfrac{a_n-ib_n}{2}e^{inx} + \cfrac{a_n+ib_n}{2}e^{-inx} \big)\\ &=&c_0 +\sum_{n=1}^\infty \big(c_ne^{inx} + c_{-n}e^{-inx}\big)\\ &=&\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{inx}\\ \end{eqnarray*}
$フーリェ係数は$
\begin{eqnarray*} c_n &=&\cfrac{a_n-ib_n}{2}\\ &=&\cfrac{1}{2}\Big\{\cfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx -\cfrac{i}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx\Big\}\\ &=&\cfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)(\cos nxdx -i\sin nx)dx\\ &=&\cfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx\\ \end{eqnarray*}
$また、f(x)\ が区間 \ [-T,\ T]\ で表された周期 \ 2T\ の区分的になめらかな周期関数のときは$
\[f(x)=\cfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n\cos \cfrac{n\pi}{T}x + b_n\sin \cfrac{n\pi}{T}x) \] $ただし$
\[a_n=\cfrac{1}{T}\int_{-T}^T f(x)\cos \cfrac{n\pi}{T}xdx, \qquad b_n=\cfrac{1}{T}\int_{-T}^T f(x)\sin \cfrac{n\pi}{T}xdx\]
$このことについては($フーリェ級数の周期の一般化$)を参考にしてください。$
$これを複素数表示すると$
\[f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_ne^{i\scriptsize{\cfrac{n\pi}{T}}\normalsize{x}} \quad ただし \quad c_n=\cfrac{1}{2T}\int_{-T}^T f(x)e^{-i\scriptsize{\cfrac{n\pi}{T}}\normalsize{x}}dx\]
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