チェビシェフの不等式(積分形)



$\hspace{5em} 整式におけるチェビシェフの不等式は($チェビシェフの不等式$)をご覧ください。$

$定理 \ 1\quad 区間 \ [0,\ 1] \ で連続な関数 \ f(x),\ g(x)\ について$
\[(1)\quad f(x),\ g(x)\ がともに増加または減少関数のとき \quad \int_0^1f(x)dx \int_0^1g(x)dx \leqq \int_0^1f(x)g(x)dx \] \[(2)\quad f(x),\ g(x)\ の一方が増加他方が減少関数のとき \quad \int_0^1f(x)dx \int_0^1g(x)dx \geqq \int_0^1f(x)g(x)dx \]



$(証明)$

$0 \leqq x < y \leqq 1 \quad として、次のような \ 2\ 重積分を考える。$
\begin{eqnarray*} & &\int_0^1 \!\!\!\int_0^1\{f(x)-f(y)\}\{g(x)-g(y)\}dxdy\\ \\ &=&\int_0^1 \!\!\!\int_0^1\{f(x)g(x)-f(x)g(y)-f(y)g(x)+f(y)g(y)\}dxdy\\ \\ &=&\int_0^1 \!\!\!\int_0^1f(x)g(x)dxdy - \int_0^1 \!\!\!\int_0^1f(x)g(y)dxdy - \int_0^1 \!\!\!\int_0^1 f(y)g(x)dxdy + \int_0^1 \!\!\!\int_0^1f(y)g(y)dxdy\\ \\ &=&\int_0^1 f(x)g(x)dx \int_0^1dy - \int_0^1 f(x)dx \int_0^1g(y)dy - \int_0^1 g(x)dx \int_0^1 f(y)dy + \int_0^1 dx \int_0^1f(y)g(y)dy\\ \\ &=&\int_0^1 f(x)g(x)dx - \int_0^1 f(x)dx \int_0^1g(y)dy - \int_0^1 g(x)dx \int_0^1 f(y)dy + \int_0^1f(y)g(y)dy\\ \\ &=&\int_0^1 f(x)g(x)dx - \int_0^1 f(x)dx \int_0^1g(y)dy - \int_0^1 g(y)dy \int_0^1 f(x)dx + \int_0^1f(x)g(x)dx\\ \\ &=&2\big\{\int_0^1 f(x)g(x)dx - \int_0^1 f(x)dx \int_0^1g(y)dy \big\}\\ \end{eqnarray*} $ここで$

$(1)$

(i)$\ \ f(x),\ g(x)\ がともに増加関数のとき$

$\qquad f(x) \leqq f(y) ,\quad g(x) \leqq g(y) \quad だから \quad \{f(x)-f(y)\}\{g(x)-g(y)\} \geqq 0$

(ii)$\ \ f(x),\ g(x)\ がともに減少関数のとき$

$\qquad f(x) \geqq f(y) ,\quad g(x) \geqq g(y) \quad だから \quad \{f(x)-f(y)\}\{g(x)-g(y)\} \geqq 0$

\[よって \quad \int_0^1 \!\!\!\int_0^1\{f(x)-f(y)\}\{g(x)-g(y)\}dxdy \geqq 0 \quad だから\]
\[\qquad \int_0^1 f(x)g(x)dx \geqq \int_0^1 f(x)dx \int_0^1g(y)dy \]
$(2)$

(i)$\ \ f(x)\ が増加関数,\ \ g(x)\ が減少関数のとき$

$\qquad f(x) \leqq f(y) ,\quad g(x) \geqq g(y) \quad だから \quad \{f(x)-f(y)\}\{g(x)-g(y)\} \leqq 0$

(ii)$\ \ f(x)\ が減少関数,\ \ g(x)\ が増加関数のとき$

$\qquad f(x) \geqq f(y) ,\quad g(x) \leqq g(y) \quad だから \quad \{f(x)-f(y)\}\{g(x)-g(y)\} \leqq 0$

\[よって \quad \int_0^1 \!\!\!\int_0^1\{f(x)-f(y)\}\{g(x)-g(y)\}dxdy \leqq 0 \quad だから\]
\[\quad \int_0^1 f(x)g(x)dx \leqq \int_0^1 f(x)dx \int_0^1g(y)dy \]

$定理 \ 2 \quad 区間 \ [0,\ 1] \ で連続な関数 \ f(x)\ について、f(x) \geqq 0 ,\ \ p ,\ q\ が正の整数のとき$
\[(1)\quad \int_0^1f(x)^p dx \int_0^1f(x)^qdx \leqq \int_0^1f(x)^{p+q}dx \] \[(2)\quad \Big(\int_0^1f(x)dx \Big)^p \leqq \int_0^1f(x)^pdx \]



$(証明)$

$(1)$

$定理1の(1)で、f(x) \longrightarrow f(x)^p ,\quad g(x) \longrightarrow f(x)^q \quad とおくと$

\[\quad \int_0^1f(x)^p dx \int_0^1f(x)^q dx \leqq \int_0^1f(x)^p f(x)^qdx \]
\[よって \quad \int_0^1f(x)^p dx \int_0^1f(x)^qdx \leqq \int_0^1f(x)^{p+q}dx \]

$(2)$
\[定理1の(1)で、 g(x)=f(x) \quad とおくと \quad \Big(\int_0^1f(x)dx\Big)^2 \leqq \int_0^1f(x)^2dx \] \[両辺に \quad \int_0^1f(x)dx >0 \quad をかけて\] \[\quad \Big(\int_0^1f(x)dx\Big)^3 \leqq \Big(\int_0^1f(x)dx\Big) \Big( \int_0^1f(x)^2dx\Big) \leqq \int_0^1f(x)^3dx \] $これを繰り返して$
\[\quad \Big(\int_0^1f(x)dx \Big)^p \leqq \int_0^1f(x)^pdx \]

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