チェビシェフの不等式 (2文字の場合)
$\qquad a \geqq b >0,\quad x \geqq y >0\ \ のとき \quad \cfrac{a+b}{2} \cdot \cfrac{x+y}{2} \leqq \cfrac{ax+by}{2} \qquad 等号は \ \ a=b\ \ または \ \ x=y \ \ のとき$
$(証明1)$
\begin{eqnarray*} & &2(ax+by)-(a+b)(x+y)\\ \\ &=&2(ax+by)-(ax+ay+bx+by)\\ \\ &=&a(x-y)-b(x-y)\\ \\ &=&(a-b)(x-y)\\ \end{eqnarray*} $a-b \geqq 0,\quad x-y \geqq 0 \quad だから \quad (a-b)(x-y) \geqq 0$
$よって \quad 2(ax+by) \geqq (a+b)(x+y) $
$両辺を2^2 で割って \quad \cfrac{a+b}{2} \cdot \cfrac{x+y}{2} \leqq \cfrac{ax+by}{2} \hspace{5em}(1)$
$(証明2)$
$(a-b)(x-y) \geqq 0 \quad だから$
$ax+by \geqq ay+bx$
$両辺に \quad ax+by \quad を加えて$
$2(ax+by)\geqq (ay+bx)+(ax+by)$
$2(ax+by )\geqq (a+b)(x+y)$
$(拡張1)$
$(1)で a \longrightarrow a^p,\ \ b \longrightarrow b^p,\ \ x \longrightarrow a^q,\ \ y \longrightarrow b^q \quad とおくと$
$\qquad \cfrac{a^p+b^p}{2}\cdot \cfrac{a^q+b^q}{2} \leqq \ \cfrac{a^{p+q}+b^{p+q}}{2} $
$(拡張2)$
$(1)で \ \ x=a,\ y=b\ \ とおくと \quad \big(\cfrac{a+b}{2}\big)^2 \leqq \cfrac{a^2+b^2}{2}$
$このときは、a+b,\ \ a^2+b^2 \ \ はともに \ a,\ b\ の対称式だから \ \ a \geqq b \ \ の条件は不用となる。$
$さらに、この式の両辺に \ \cfrac{a+b}{2}\ をかけて \qquad \big(\cfrac{a+b}{2}\big)^3 \leqq \cfrac{a+b}{2}\cdot \cfrac{a^2+b^2}{2}$
$右辺は(1)の左辺で \ \ x=a^2,\ y=b^2\ \ とおいたものだから \quad \cfrac{a+b}{2}\cdot \cfrac{a^2+b^2}{2} \leqq \ \cfrac{a^3+b^3}{2}$
$よって \quad \big(\cfrac{a+b}{2}\big)^3 \leqq \cfrac{a^3+b^3}{2} \hspace{5em}(2)$
$(2)式のダイレクトな証明$
\begin{eqnarray*} & &4(a^3+b^3)-(a+b)^3\\ \\ &=&3a^3+3b^3-3a^2b-3ab^2\\ \\ &=&3a^2(a-b)+3b^2(b-a)\\ \\ &=&3(a-b)(a^2-b^2)\\ \\ &=&3(a-b)^2(a+b)\\ \\ &\geqq 0& \end{eqnarray*}
$(1)式の両辺に \ \cfrac{a+b}{2}\ をかける操作を繰り返すと$
$\qquad \big(\cfrac{a+b}{2}\big)^n \leqq \cfrac{a^n+b^n}{2} \quad (a > 0,\ \ b > 0,\ \ n\ は正の整数)$
$この式のダイレクトな証明$
$f(x)=x^n \ \ (n \geqq 2,\ \ x >0) \ を考える。$
$f'(x)=nx^{n-1} > 0 ,\qquad f''(x)=n(n-1)x^{n-2} >0 \quad だから$
$f(x)\ は \ x > 0\ で下に凸な単調増加関数である。$
$A(a,\ a^n),\ \ B(b,\ b^n),\ \ M(\cfrac{a+b}{2},\ 0)\ \ (a < b )\ \ とすると$
$x=\cfrac{a+b}{2}\ である曲線上の点 \ P\ は \ \ P(\cfrac{a+b}{2},\ (\cfrac{a+b}{2})^n)$
$線分 \ A,\ B\ の中点 \ Q\ は \ \ Q(\cfrac{a+b}{2},\ \cfrac{a^n+b^n}{2})$
$下に凸な単調増加関数においては \quad MP \leqq MQ \quad だから$
$\qquad (\cfrac{a+b}{2})^n \leqq \cfrac{a^n+b^n}{2}$
$\quad (単調増加関数のこの性質については $ 曲線の凹凸$をご覧ください。)$
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