横浜国立大学(理系) 2025年　問題4


$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 実数 \ x\ に対して、e^x \geqq x+1 \ \ が成り立つことを示せ。$
$(2)\ \ 数列 \{a_n\} を \ \ a_1=1,\ \ a_n=\dfrac{n}{n-1}\big(1-\dfrac{1}{3n}\big)^3 a_{n-1}\ \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots )\ \ によって定める。$
$\quad $(i)$\ \ n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots \ \ に対して、 1 < \dfrac{a_n}{a_{n-1}} < e^{\scriptsize{\dfrac{1}{3n(n-1)}}} \ \ が成り立つことを示せ。$
$\quad $(ii)$\ \ n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \ \ に対して、 1 \leqq a_n < e^{\scriptsize{\dfrac{1}{3}}} \ \ が成り立つことを示せ。$


(1)


$f(x)=e^x-(x+1) \quad とおくと$

$f'(x)=e^x-1$

$f'(x)=0 \ \ より \quad e^x=1 \quad \therefore \ \ x=0$

　

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x& \cdots & 0 & \cdots \\ \hline f'(x)& - & 0 & + \\ \hline f(x)& \searrow & 極小 & \nearrow \\ \end{array} \]
$f(x)\ は \ x=0\ で極小かつ最小となり、最小値は$

$f(0)=e^0-1=0$

$\therefore \ \ f(x) \geqq f(0)=0 $

$よって \quad e^x \geqq x+1 \quad ただし等号は \ x=0 \ のとき$


(2)


$a_n > 0 \ \ であることを数学的帰納法で証明する。$

$a_1=1 > 0$

$a_{k-1} > 0 \ \ (k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots )\ \ とすると \quad \dfrac{k}{k-1} > 0, \quad 1-\dfrac{1}{3k} > 0 \quad だから $

$a_k=\dfrac{k}{k-1}\big(1-\dfrac{1}{3k}\big)^3 a_{k-1} > 0$

$よって、すべての自然数 \ n\ について \quad a_n > 0$


(i)$\ \ n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots \ \ のとき$
\begin{eqnarray*} \dfrac{a_n}{a_{n-1}} &=&\dfrac{n}{n-1}\big(1-\dfrac{1}{3n}\big)^3 \\ \\ &=&\dfrac{n}{n-1}\big(1-3(\dfrac{1}{3n})+3(\dfrac{1}{3n})^2-(\dfrac{1}{3n})^3\big)\\ \\ &=&\dfrac{n}{n-1}\big(1-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{3n^2}-\dfrac{1}{27n^3}\big)\\ \\ &=&\dfrac{1}{n-1}\big(n-1+\dfrac{1}{3n}-\dfrac{1}{27n^2}\big)\\ \\ &=&1+\dfrac{1}{n-1}\big(\dfrac{1}{3n}-\dfrac{1}{27n^2}\big)\\ \\ &=&1+\dfrac{1}{3n(n-1)}\big(1-\dfrac{1}{9n}\big)\\ \end{eqnarray*}
$\quad (ア)\ \ \dfrac{a_n}{a_{n-1}}-1=\dfrac{1}{3n(n-1)}\big(1-\dfrac{1}{9n}\big)> 0 \qquad \therefore \ \ 1 < \dfrac{a_n}{a_{n-1}} $

$\quad (イ)\ \ 1-\dfrac{1}{9n} <1 \quad だから $

$\qquad \dfrac{a_n}{a_{n-1}}=1+\dfrac{1}{3n(n-1)}\big(1-\dfrac{1}{9n}\big) <1+\dfrac{1}{3n(n-1)}$

$\quad (1)より \ \ x+1 \leqq e^x \ \ において \ \ x=\dfrac{1}{3n(n-1)} \ne 0 \ \ とおくと \quad \dfrac{1}{3n(n-1)} + 1 < e^{\scriptsize{\dfrac{1}{3n(n-1)}}} $

$\quad したがって　\dfrac{a_n}{a_{n-1}} < 1+\dfrac{1}{3n(n-1)}< e^{\scriptsize{\dfrac{1}{3n(n-1)}}} $

$(ア)、(イ)より \quad 1 < \dfrac{a_n}{a_{n-1}} < e^{\scriptsize{\dfrac{1}{3n(n-1)}}}$


(ii)$\ \ n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \ \ のとき$

$\quad a_1=1 \ \ だから \quad 　\cfrac{a_2}{a_1} \times \cfrac{a_3}{a_2} \times \cdots \times \cfrac{a_n}{a_{n-1}}=\dfrac{a_n}{a_1}=a_n \quad であることをつかって$

$\quad (2)より \quad n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots \ \ に対して \quad 1 < \dfrac{a_n}{a_{n-1}} < e^{\scriptsize{\dfrac{1}{3(n-1)n}}} \quad が成りたつから$

\begin{eqnarray*} \quad a_n &=&\cfrac{a_2}{a_1} \times \cfrac{a_3}{a_2} \times \cdots \times \cfrac{a_n}{a_{n-1}}\\ \\ &<&e^{\scriptsize{\dfrac{1}{3\cdot 1 \cdot 2}}} \times e^{\scriptsize{\dfrac{1}{3\cdot 2 \cdot 3}}} \times \cdots e^{\scriptsize{\dfrac{1}{3(n-1)n}}}\\ \\ &=&e^{\scriptsize{\dfrac{1}{3}\big(\dfrac{1}{1 \cdot 2}+ \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \cdots +\dfrac{1}{(n-1)n}\big)}}\\ \\ &=&e^{\scriptsize{\dfrac{1}{3}\big((\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2})+ (\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}) + \cdots + (\dfrac{1}{n-1} -\dfrac{1}{n})\big)}}\\ \\ &=&e^{\scriptsize{\dfrac{1}{3}\big((1-\dfrac{1}{n}\big)}}\\ \\ &<&e^{\scriptsize{\dfrac{1}{3}}}\\ \end{eqnarray*}
$なお \quad a_n > 0 ,\quad 1 < \dfrac{a_n}{a_{n-1}}\ \ だから \quad a_{n-1} < a_n $

$よって \quad n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots \ \ に対して \quad a_1 < a_2 < a_3 < \cdots \quad だから$

$\quad n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \ \ に対して \quad 1 \leqq a_n < e^{\scriptsize{\dfrac{1}{3}}} \quad が成り立つ。ただし左辺の等号は \ n=1\ のとき$


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