横浜国立大学(理系) 2025年　問題2


$1\ 個のさいころを \ 3\ 回投げ、出た目を順に \ n_1,\ n_2,\ n_3\ とする。O\ を原点とする \ xy\ 平面上の点 \ A_1,\ A_2,\ A_3 \ を$
$\qquad A_k\big(\cos (\dfrac{2n_k}{5}\pi),\ \sin (\dfrac{2n_k}{5}\pi)\big) \ \ (k=1,\ 2,\ 3)\ \ によって定める。 次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 点A_1,\ A_2,\ A_3\ がすべて一致する確率を求めよ。$
$(2)\ \ \vec{OA_1}+\vec{OA_2} \ \ と \ \ \vec{OA_3}\ \ が平行になる確率を求めよ。$
$(3)\ \ \vec{OA_1}+\vec{OA_2} \ \ と \ \ \vec{OA_3}\ \ が平行になるという条件のもとで、n_1,\ n_2,\ n_3 \ がすべて奇数である条件付き確率を$
$\quad 求めよ。$


　

$\theta=\dfrac{2}{5}\pi , \quad \theta_i=\dfrac{2}{5}\pi \times i \ \ (i=1,\ 2,\ \cdots , \ 6),\quad P_i(\cos \theta_i,\sin \theta_i)\ \ とおく。$

$点P_i \ は原点を中心とする正五角形の各頂点である。$

$\theta_5=2\pi \ \ だから \ \ P_6=P_1\ \ であり、i=n_k \ \ のとき \ \ P_i=A_k \ \ である。$

(1)


$点A_1,\ A_2,\ A_3\ がすべて一致するのはさいころの目の出かた \ \ (n_1,\ n_2,\ n_3)\ \ が$

(i)$\ \ \{1,6\}\ \ を含まない場合$

$\quad (2,\ 2,\ 2),\ \ (3,\ 3,\ 3),\ \ (4,\ 4,\ 4),\ \ (5,\ 5,\ 5)\ \ の \ 4\ 通り$

(ii)$\ \ \{1,6\}\ \ を含む場合$

$\quad (1,\ 1,\ 1),\ \ (6,\ 6,\ 6)\ \ のときは \ 2\ 通り$

$\quad \{1,\ 1,\ 6\}\ \ のときは、(1,\ 1,\ 6),\ \ (1,\ 6,\ 1),\ \ (6,\ 1,\ 1)\ の \ 3\ 通り$

$\quad \{1,\ 6,\ 6\}\ \ のときは、(1,\ 6,\ 6),\ \ (6,\ 1,\ 6),\ \ (6,\ 6,\ 1)\ の \ 3\ 通り$

$全部で、 4+2+3+3=12 \ \ 通り$

$求める確率は \quad p=\dfrac{12}{6^3}=\dfrac{1}{18}$


(2)


$\vec{OA_1}+\vec{OA_2} \ \ と \ \ \vec{OA_3}\ \ が平行になるのは$

(1)$\ \ A_1,\ A_2,\ A_3\ が一致する場合$

$\quad (1) の場合だから \quad 12\ \ 通り$


(ii)$\ \ OP_1,\ OP_3 \ を \ 2\ 辺とし、\angle P_1OP_3=2\theta \ \ のひし形の場合$

　

$右図は、A_1=P_1,\ A_2=P_3,\ A_3=P_2 \ \ の場合である。$

$\vec{OA_1}+\vec{OA_2}=\vec{OQ} \ \ とするとひし形の対角線は \ \ \angle P_1OQ=\angle P_3OQ=\theta \ \ だから$

$3\ 点O,\ Q,\ P_2 \ \ は一直線上にある。$

$したがって \quad \vec{OA_1}+\vec{OA_2} \ \ と \ \ \vec{OA_3}\ \ は平行になる。$

$この場合のさいころの目の出かたは \quad (1,\ 3,\ 2),\ \ (3,\ 1,\ 2),\ \ (6,\ 3,\ 2),\ \ (3,\ 6,\ 2)\ \ の \ 4\ 通り$

$他に$

$P_2,\ P_4,\ P_3 \ \ のとき \ \ (2,\ 4,\ 3),\ \ (4,\ 2,\ 3)\ \ の \ 2\ 通り$

$P_3,\ P_5,\ P_4 \ \ のとき \ \ (3,\ 5,\ 4),\ \ (5,\ 3,\ 4)\ \ の \ 2\ 通り$

$P_4,\ P_1,\ P_5 \ \ のとき \ \ (4,\ 1,\ 5),\ \ (1,\ 4,\ 5),\ \ (4,\ 6,\ 5),\ \ (6,\ 4,\ 5)\ \ の \ 4\ 通り$

$P_5,\ P_2,\ P_1 \ \ のとき \ \ (5,\ 2,\ 1),\ \ (2,\ 5,\ 1),\ \ (5,\ 2,\ 6),\ \ (2,\ 5,\ 6)\ \ の \ 4\ 通り$

$合わせて \quad 4+2+2+4+4=16\ \ 通り$


(iii)$\ \ OP_1,\ OP_2 \ を \ 2\ 辺とし、\angle P_1OP_2=\theta \ \ のひし形の場合$

　
$右図は、A_1=P_1,\ A_2=P_2,\ A_3=P_4 \ \ の場合である。$

$ひし形の対角線 \ OQ\ の逆ベクトル上に \ P_4\ があるから、3\ 点 \ O,\ Q,\ P_4 \ は$

$一直線上にある。$

$したがって \quad \vec{OA_1}+\vec{OA_2} \ \ と \ \ \vec{OA_3}\ \ は平行になる。$

$この場合のさいころの目の出かたは$

$\quad (1,\ 2,\ 4),\ \ (2,\ 1,\ 4),\ \ (6,\ 2,\ 4),\ \ (2,\ 6,\ 4) \ \ の\ 4\ 通り$

$他に$

$P_2,\ P_3,\ P_5 \ \ のとき \ \ (2,\ 3,\ 5),\ \ (3,\ 2,\ 5)\ \ の \ 2\ 通り$

$P_3,\ P_4,\ P_1 \ \ のとき \ \ (3,\ 4,\ 1),\ \ (4,\ 3,\ 1),\ \ (3,\ 4,\ 6),\ \ (4,\ 3,\ 6)\ \ の \ 4\ 通り$

$P_4,\ P_5,\ P_2 \ \ のとき \ \ (4,\ 5,\ 2),\ \ (5,\ 4,\ 2)\ \ の \ 2\ 通り$

$P_5,\ P_1,\ P_3 \ \ のとき \ \ (5,\ 1,\ 3),\ \ (1,\ 5,\ 3),\ \ (5,\ 6,\ 3),\ \ (6,\ 5,\ 3)\ \ の \ 4\ 通り$

$合わせて \quad 4+2+4+2+4=16\ \ 通り$

(i),(ii),(iii)$\ \ 全部で \quad 12+16+16=44 \ \ 通り$

$求める確率は \quad p=\dfrac{44}{6^3}=\dfrac{11}{54}$


(3)


$(2)\ \ の根元事象のなかで、n_1,\ n_2,\ n_3 \ がすべて奇数である事象は$

(i)$\ \ 点A_1,\ A_2,\ A_3\ がすべて一致する場合$

$\quad (1,\ 1,\ 1),\ \ (3,\ 3,\ 3) \ \ の \ 3\ 通り$

(ii)$\ \ \angle P_1OPP_2=2\theta \ \ のひし形の場合$

$\quad なし$

(iii)$\ \ \angle P_1OP_2=\theta \ \ のひし形の場合$

$\quad (5,\ 1,\ 3),\ \ (1,\ 5,\ 3)\ \ の \ 2\ 通り$

(i),(ii),(iii)$\ \ 全部で \quad 3+2=5 \ \ 通り$

$求める条件付き確率は \quad p=\dfrac{5}{44}$


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