横浜国立大学(理系) 2025年 問題1(2)
$次の極限値を求めよ。$
\[\hspace{5em} \lim_{t \rightarrow \infty} \Big(\int_1^t \log\big(\dfrac{x+1}{x}\big)dx -\log t\Big)\]
\[I(t)=\int_1^t \log\big(\dfrac{x+1}{x}\big)dx - \log t \quad とおくと\] \begin{eqnarray*} I(t) &=&\int_1^t \big(\log (x+1) -\log x \big)dx - \log t\\ \\ &=&\big[(x+1)\log(x+1)\big]_1^t - \int_1^t (x+1) \times \dfrac{dx}{x+1} -\big[x\log x\big]_1^t + \int_1^t x \times \dfrac{dx}{x} -\log t\\ \\ &=&(t+1)\log(t+1) -2\log 2-\big[x\big]_1^t -t\log t +\big[x\big]_1^t - \log t\\ \\ &=&(t+1)\log(t+1) -2\log 2- t\log t - \log t\\ \\ &=&(t+1)\log(t+1) - (t+1)\log t -2\log 2\\ \\ &=&(t+1)\big(\log(t+1) - \log t \big) -2\log 2\\ \\ &=&(t+1) \times \cfrac{\log(t+1) - \log t}{(t+1)-t} -2\log 2\\ \end{eqnarray*} $f(x)=\log x \ \ について、区間 \ [t,\ t+1] \ で連続で、(t,\ t+1)\ で微分可能だから平均値の定理を用いると$
$\cfrac{\log(t+1) - \log t}{(t+1)-t}=f'(c)=\dfrac{1}{c} \quad をみたす \ c\ が \ (t,\ t+1)\ に存在する。$
$このとき \quad I(t)=\dfrac{t+1}{c} -2\log 2 $
$t < c < t+1 \ \ より \quad \dfrac{1}{t+1} < \dfrac{1}{c} < \dfrac{1}{t}$
$両辺に \ (t+1) \ をかけて \quad 1 < \dfrac{t+1}{c} < \dfrac{t+1}{t}$
$t \longrightarrow \infty \quad のとき \quad \dfrac{t+1}{t}=1+ \dfrac{1}{t} \longrightarrow 1 \quad だから \quad はさみうちの原理により \quad \dfrac{t+1}{c} \longrightarrow 1$
\[I(t) \longrightarrow 1 -2\log 2 \quad だから \quad \lim_{t \rightarrow \infty} \Big(\int_1^t \log\big(\dfrac{x+1}{x}\big)dx -\log t\Big)=1-2\log 2\]
メインメニュー に戻る