横浜国立大学(理系) 2025年 問題1(1)
$関数\ f(x)=\dfrac{\cos x}{2+\sin x}\ \ (0 < x < 2\pi)\ \ に対して、xy\ 平面上の曲線 \ y=f(x)\ を \ C\ とする。f(x)\ の増減、$
$極値、C\ の凹凸、変曲点を調べ、 \ C\ の概形を描け。$
$f(x)=\dfrac{\cos x}{2+\sin x} \quad より$
$f'(x)=\dfrac{-\sin x(2+\sin x)-\cos x \cdot \cos x}{(2+\sin x)^2}=-\dfrac{1+2\sin x}{(2+\sin x)^2}$
\begin{eqnarray*} f''(x) &=&-\dfrac{2\cos x(2+\sin x)^2 - (1+2\sin x) \times 2(2+\sin x)\cos x}{(2+\sin x)^4}\\ \\ &=&-\dfrac{2\cos x(2+\sin x) - 2(1+2\sin x)\cos x}{(2+\sin x)^3}\\ \\ &=&-\dfrac{2\cos x\big((2+\sin x) - (1+2\sin x)\big)}{(2+\sin x)^3}\\ \\ &=&-\dfrac{2\cos x (1-\sin x)}{(2+\sin x)^3}\\ \end{eqnarray*} $f'(x)=0 \ \ より \quad 1+2\sin x=0 \qquad \sin x=-\dfrac{1}{2} \qquad 0 < x < 2\pi \ \ だから \quad x=\dfrac{7}{6}\pi,\quad \dfrac{11}{6}\pi$
$f''(x)=0 \ \ より \quad \cos x=0 ,\quad \sin x=1$
$\quad \cos x=0 \ \ より \quad x=\dfrac{\pi}{2},\quad \dfrac{3}{2}\pi$
$\quad \sin x=1 \ \ より \quad x=\dfrac{\pi}{2}$
$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & 0 & \cdots & \dfrac{\pi}{2} & \cdots & \dfrac{7}{6}\pi & \cdots & \dfrac{3}{2}\pi & \cdots & \dfrac{11}{6}\pi & \cdots & 2\pi\\ \hline f'(x) & & - & - & - & 0 & + & + & + & 0 & - & \\ \hline f''(x) & & - & 0 & + & + & + & 0 & - & - & - & \\ \hline f(x)& & \searrow & 変曲点 & \searrow & 極小 & \nearrow & 変曲点 & \nearrow & 極大 & \searrow \\ & & 上に凸 & & 下に凸 & & 下に凸 & & 上に凸 & & 上に凸 \\ \end{array} \]
$端点 \quad f(0)=\dfrac{1}{2},\quad f(2\pi)=\dfrac{1}{2}$
$極値 \quad x=\dfrac{7}{6}\pi \ \ で極小値 \quad f(\dfrac{7}{6}\pi)=\dfrac{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2-\dfrac{1}{2}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3},\qquad x=\dfrac{11}{6}\pi \ \ で極大値 \quad f(\dfrac{11}{6}\pi)=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$変曲点 \quad f(\dfrac{\pi}{2})=0,\quad f(\dfrac{3}{2}\pi)=0 \ \ だから \quad (\dfrac{\pi}{2},\ 0),\quad (\dfrac{3}{2}\pi,\ 0)$
メインメニュー に戻る