早稲田大学(理系) 2026年 問題4
$a(1)=2 \ とし、a(2),\ a(3),\ a(4), \ \cdots \ \ を次の関係で定める。$
$ \quad a(2n)=3a(n)+1,\quad a(2n+1)=3a(n)+2 \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$
$以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ a(7),\ \ a(9)\ \ を求めよ。$
$(2)\ \ 自然数 \ n\ に対して、a(2^n+1)\ は、 \ 1\ または \ 2\ のいずれかの値をとるような \ \ b_0,\ b_1,\ \cdots ,\ b_n\ \ を用いて$
\[\quad a(2^n+1)=\sum_{k=0}^n b_k \cdot 3^k \ \ と表せる。b_0,\ b_1,\ \cdots , \ b_n \ \ をそれぞれ求めよ。\]
\[(3)\ \ 自然数 \ n\ に対して、 \ \ \sum_{k=1}^{2^n-1} a(k)\ \ を求めよ。\]
(1)
$a(2)=3a(1)+1=3 \times 2+1=7,\qquad a(3)=3a(1)+2=3 \times 2+2=8$
$a(4)=3a(2)+1=3 \times 7+1=22,\qquad a(5)=3a(2)+2=3 \times 7+2=23$
$a(6)=3a(3)+1=3 \times 8+1=25,\qquad a(7)=3a(3)+2=3 \times 8+2=26$
$a(8)=3a(4)+1=3 \times 22+1=67,\qquad a(9)=3a(4)+2=3 \times 22+2=68$
(2)
\begin{eqnarray*} & &a(2^n+1)\\ \\ &=&a(2 \cdot 2^{n-1}+1)\\ \\ &=&3a(2^{n-1})+2\\ \\ &=&3a(2 \cdot 2^{n-2})+2\\ \\ &=&3\big(3a(2^{n-2})+1\big)+2\\ \\ &=&3^2a(2^{n-2})+3 +2\\ \\ &=&3^2a(2 \cdot 2^{n-3})+3 +2\\ \\ &=&3^2\big(3a(2^{n-3})+1\big)+3+2\\ \\ &=&3^3a(2^{n-3})+3^2+3+2\\ \\ & &\hspace{5em} \vdots \\ \\ &=&3^na(2^0)+3^{n-1}+ \cdots + 3^2+3+2\\ \\ &=&2 \cdot 3^n +3^{n-1}+ \cdots + 3^2+3+2\\ \\ &=&2+3+3^2+ \cdots + 3^{n-1} +2 \cdot 3^n \end{eqnarray*}
$したがって \quad b_0=2,\quad b_1=b_2= \cdots = b_{n-1}=1 ,\quad b_n=2$
(3)
\[S_n=\sum_{k=1}^{2^n-1} a(k)\ \ とおくと \quad n=2,\ 3,\ \cdots \ \ のとき \]
\begin{eqnarray*} S_n &=&a(1)+s(3)+ a(5)+\cdots + a(2^n-1)+a(2)+a(4)+a(6)+ \cdots + a(2^n-2)\\ \\ &=&a(1)+s(3)+ a(5)+ \cdots + a(2 \cdot 2^{n-1}-1)+a(2)+a(4)+a(6)+ \cdot + a(2 \cdot 2^{n-1}-2)\\ \\ &=&a(1)+\big(3a(1)+2\big)+ \big(3a(2)+2\big)+ \cdots + \big(3a(2^{n-1}-1)+2\big)+ \big(3a(1)+1\big)+ \big(3a(2)+1\big)+ \cdots + \big(3a(2^{n-1}-1)+1 \big)\\ \\ &=&a(1)+6\big\{a(1)+a(2)+ \cdots + a(2^{n-1}-1) \big\} +2 \times \big(2^{n-1}-1\big)+ 1 \times \big(2^{n-1}-1\big)\\ \\ &=&2+6S_{n-1} + 3\big(2^{n-1}-1\big)\\ \\ &=&6S_{n-1} + 3 \cdot 2^{n-1}-1\\ \end{eqnarray*}
$S_n \ について漸化式が求まったので、n \longrightarrow n-1 \ \ と順次置き換えていく$
\begin{eqnarray*} S_n &=&6S_{n-1} + 3 \cdot 2^{n-1}-1\\ \\ &=&6\big\{6S_{n-2} + 3 \cdot 2^{n-2}-1\big\} +3 \cdot 2^{n-1}-1\\ \\ &=&6^2S_{n-2} + 3^2 \cdot 2^{n-1}+3 \cdot 2^{n-1}-(6+1)\\ \\ &=&6^2S_{n-2} + (3^2 +3) 2^{n-1}-(6+1)\\ \\ &=&6^2\big\{6S_{n-3} + 3 \cdot 2^{n-3}-1\big\} +(3^2 +3) 2^{n-1}-(6+1)\\ \\ &=&6^3S_{n-3} + 3^3 \cdot 2^{n-1}+ (3^2 +3) 2^{n-1}-(6^2+6+1)\\ \\ &=&6^3S_{n-3} + (3^3 + 3^2 +3) 2^{n-1}-(6^2+6+1)\\ \\ & &\hspace{5em} \vdots \\ \\ &=&6^{n-1}S_1 + (3^{n-1} + 3^{n-2}+ \cdots +3) 2^{n-1}-(6^{n-2}+6^{n-3}+ \cdots +6+1)\\ \\ &=&2 \cdot 6^{n-1}+ \dfrac{3(3^{n-1}-1)}{3-1} \cdot 2^{n-1} -\dfrac{6^{n-1}-1}{6-1}\\ \\ &=&2 \cdot 6^{n-1}+ 3(3^{n-1}-1)\cdot 2^{n-2} -\dfrac{6^{n-1}}{5}+\dfrac{1}{5}\\ \\ &=&2 \cdot 6^{n-1}+ 3^n \cdot 2^{n-2} -3 \cdot 2^{n-2} -\dfrac{6^{n-1}}{5}+\dfrac{1}{5}\\ \\ &=&2 \cdot 6^{n-1}+ 3^2 \cdot 6^{n-2} -3 \cdot 2^{n-2} -\dfrac{6^{n-1}}{5}+\dfrac{1}{5}\\ \\ &=&12 \cdot 6^{n-2}+ 9 \cdot 6^{n-2} -3 \cdot 2^{n-2} -\dfrac{6}{5}\cdot 6^{n-2}+\dfrac{1}{5}\\ \\ &=&\dfrac{99}{5} \cdot 6^{n-2} -3 \cdot 2^{n-2} +\dfrac{1}{5}\\ \end{eqnarray*}
$よって$
\[n=2,\ 3,\ \cdots \ \ のとき \quad \sum_{k=1}^{2^n-1} a(k)=\dfrac{99}{5} \cdot 6^{n-2} -3 \cdot 2^{n-2} +\dfrac{1}{5}, \qquad n=1 \ \ のとき \quad a(1)=2\]
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