早稲田大学(理系) 2026年 問題2
$k\ を自然数とする。方程式 \ \ \sqrt{m-\sqrt{n}}+\sqrt{m+\sqrt{n}}-\dfrac{1}{k}\sqrt{mn}=0\ \ を満たす自然数の組 \ (m,\ n)\ を$
$自然数解と呼ぶ。以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ 自然数解 \ (m,\ n)\ が存在するならば、2k^2 \leqq n < 4k^2 \ \ であることを示せ。$
$(2)\ \ それぞれの \ k\ に対して、自然数解が少なくとも \ 1\ つ存在し、その個数は \ \sqrt{2}k \ より小さいことを示せ。$
$(3)\ \ k=3 \ のとき、自然数解をすべて求めよ。$
(1)
$\sqrt{m-\sqrt{n}}+\sqrt{m+\sqrt{n}}-\dfrac{1}{k}\sqrt{mn}=0\ \ の両辺を平方して$
$(m-\sqrt{n}) + (m+\sqrt{n})+2\sqrt{(m-\sqrt{n})(m+\sqrt{n})}=\dfrac{mn}{k^2}$
$2m+2\sqrt{m^2-n}=\dfrac{mn}{k^2}$
$2\sqrt{m^2-n}=\dfrac{mn}{k^2}-2m \hspace{5em}①$
$左辺は正または \ 0\ だから \quad \dfrac{mn}{k^2}-2m \geqq 0$
$m > 0 \ \ だから \quad \dfrac{n}{k^2} \geqq 2 $
$\therefore \ \ n \geqq 2k^2$
$①の両辺を平方して $
$4(m^2-n)=\dfrac{m^2n^2}{k^4}+4m^2-\dfrac{4m^2n}{k^2}$
$-4n=\dfrac{m^2n^2}{k^4} -\dfrac{4m^2n}{k^2}$
$両辺に \ \dfrac{k^4}{n}\ \ をかけて \quad -4k^4=m^2n-4k^2m^2$
$4k^4=m^2(4k^2-n) \hspace{5em} ②$
$左辺は正だから \quad 4k^2-n >0 \qquad \therefore n < 4k^2$
$したがって \quad 2k^2 \leqq < n < 4k^2$
(2)
$②より \quad m^2n=4k^2(m^2-k^2) \hspace{5em}③$
$これを満たす \ m,\ n \ として$
$m^2=4k^2, \quad n=m^2-k^2=4k^2-k^2=3k^2 \ \ がとれる。$
$よって \quad (m,\ n)=(2k,\ 3k^2)\ が \ 1\ つ存在する。$
$自然数解 \ (m,\ n)\ の個数を \ N\ 個,その\ m,\ n\ の個数をそれぞれ \ i,\ j\ 個 とすると$
$③式\ \ m^2n=4k^2(m^2-k^2) \ \ より \quad n=\dfrac{4k^2}{m^2}(m^2-k^2)=4k^2\big(1-\dfrac{k^2}{m^2}\big) \ \ だから$
$1\ つの自然数 \ m\ に対して、n\ が \ 1\ つきまる。ただし \ n\ は自然数とは限らないので \quad j \leqq i$
$同様に②より \quad m^2=\dfrac{4k^4}{4k^2-n} \ \ だから$
$1\ つの自然数 \ n\ に対して、m\ が \ 1\ つきまる。ただし \ m\ は自然数とは限らないので \quad i \leqq j$
$よって \quad i=j \quad したがって\ \ 順序対 \ (m,\ n)\ の個数が \ N\ だから \ \ N=i=j$
$(1)より \quad 2k^2 \leqq < n < 4k^2 \ \ だから \quad j < 4k^2-2k^2=2k^2 \ \ よって \quad N < 2k^2$
$ところが、この \ N\ はさらに小さな値で評価できる。$
$一般に、集合の要素の個数について積の法則が成りたつから \quad N=i \times j =j^2$
$よって \quad j^2 < 2k^2 \qquad \therefore j < \sqrt{2}k $
$したがって \quad N < \sqrt{2}k$
$すなわち、それぞれの \ k\ に対して、自然数解の個数は \ \sqrt{2}k \ より小さい。$
(3)
$k=3 \ \ のとき (2)より \quad N < \sqrt{2} \times 3 \ \ だから \quad N \leqq 4 \ \ である。$
$実際、(m,\ n)\ と \ N\ を求めるには$
$(1)の②式 \quad 4k^4=m^2(4k^2-n) \ \ に \ \ k=3\ \ を代入して$
$m^2(36-n)=2^2 \times 3^4$
$36-n > 0 \ \ であるから \ \ n < 36 \ \ に注意して$
(i)$\ \ m^2=1, \quad 36-n=2^2 \times 3^4 =324 \ \ のとき \ \ n < 0 \ \ となり不適$
(ii)$\ \ m^2=2^2, \quad 36-n=3^4=81 \ \ のとき \ \ n < 0 \ \ となり不適$
(iii)$\ \ m^2=3^2, \quad 36-n=2^2 \times 3^2=36 \ \ のとき \ \ n = 0\ \ となり不適$
(iv)$\ \ m^2=3^4, \quad 36-n=2^2 \ \ のとき \ \ n = 32$
(v)$\ \ m^2=2^2 \times 3^2, \quad 36-n=3^2 \ \ のとき \ \ n = 27$
(vi)$\ \ m^2=2^2 \times 3^4, \quad 36-n=1 \ \ のとき \ \ n = 35$
$以上より \quad k=3 \ のとき、自然数解 \ (m,\ n)\ は \ \ (6,\ 27),\ \ (9,\ 32),\ \ (18,\ 35)\ \ の \ 3\ 個 $
$確かに、N=i=j=3 \ \ を満たしていることがわかる。$
$(補充)$
$k=3 \ \ だけでなく、k\ が \ 2\ を含め、素数のときは自然数解について同様なことが成りたちます。$
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