早稲田大学(理系) 2026年　問題1


$次の関数 \ f(x)\ について、以下の問に答えよ。$
$\qquad f(x)=8^x-\dfrac{15}{2}\cdot 4^x+\dfrac{63}{4}\cdot 2^x-\dfrac{57}{8}$
$(1)\ \ f(x)\ の極大値 \ M\ と極小値 \ m\ を求めよ。$
$(2)\ \ (1)で求めた \ M,\ m \ に対して、 a \leqq x \leqq b \ \ における \ f(x)\ の最大値が \ M,\ 最小値が \ m\ となるような実数の$
$\quad 組\ (a,\ b)\ のうち、b-a\ \ が最小となる組を求めよ。$


(1)


$f(x)=8^x-\dfrac{15}{2}\cdot 4^x+\dfrac{63}{4}\cdot 2^x-\dfrac{57}{8}=2^{3x}-\dfrac{15}{2}\cdot 2^{2x}+\dfrac{63}{4}\cdot 2^x-\dfrac{57}{8}$

$2^x=X \ \ (X >0) ,\quad f(x)=g(X) \ \ とおくと \ X=2^x \ \ は単調増加だから \ f(x)\ の増減と \ g(X)\ の増減は一致する。$

$g(X)=X^3-\dfrac{15}{2}X^2+\dfrac{63}{4}X -\dfrac{57}{8}$

$g'(X)=3X^2-15X+\dfrac{63}{4}=\dfrac{3}{4}(4X^2-20X+21)=\dfrac{3}{4}(2X-3)(2X-7)$

$g'(X)= 0 \ \ より \quad X=\dfrac{3}{2},\quad \dfrac{7}{2}$

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} X& 0 & \cdots & \dfrac{3}{2} & \cdots & \dfrac{7}{2} & \cdots \\ \hline g'(X) & & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline g(X)& & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \end{array} \]
$X=\dfrac{3}{2} \ \ で極大となり、極大値 \quad g(\dfrac{3}{2})=\dfrac{27}{8}-\dfrac{15}{2} \times \dfrac{9}{4}+\dfrac{63}{4} \times \dfrac{3}{2}-\dfrac{57}{8}=3$

$X=\dfrac{7}{2} \ \ で極小となり、極小値 \quad g(\dfrac{7}{2})=\dfrac{343}{8}-\dfrac{15}{2} \times \dfrac{49}{4}+\dfrac{63}{4} \times \dfrac{7}{2}-\dfrac{57}{8}=-1$


(2)


$y=g(X) \ のグラフは右図のとおり$

　

$g(X)=3 \ \ となる \ X\ は、重解 \ \ \dfrac{3}{2}\ \ と \ \alpha \ \ とすると$

$X^3-\dfrac{15}{2}X^2+\dfrac{63}{4}X -\dfrac{57}{8}=3$

$X^3-\dfrac{15}{2}X^2+\dfrac{63}{4}X -\dfrac{81}{8}=0$

$解と係数の関係より$

$\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}+\alpha =\dfrac{15}{2} \ \ より \quad \alpha=\dfrac{9}{2}$

$g(X)=-1 \ \ となる \ X\ は、重解 \ \ \dfrac{7}{2}\ \ と \quad \beta \ \ とすると$

$X^3-\dfrac{15}{2}X^2+\dfrac{63}{4}X -\dfrac{57}{8}=-1$

$X^3-\dfrac{15}{2}X^2+\dfrac{63}{4}X -\dfrac{49}{8}=0$

$\dfrac{7}{2}+\dfrac{7}{2}+\beta =\dfrac{15}{2} \ \ より \quad \beta=\dfrac{1}{2}$

$ p \leqq x \leqq q \ \ における \ g(X)\ の最大値が \ M,\ 最小値が \ m\ となるような(p,\ q)\ とそれに対応する \ (a,\ b)\ は$

$X=2^x \ \ だから \quad x=\log_2 X$

$X=\dfrac{9}{2} \ \ のとき \quad x=\log_2 \dfrac{9}{2}=\log_2 9-1$

$X=\dfrac{7}{2} \ \ のとき \quad x=\log_2 \dfrac{7}{2}=\log_2 7-1$

$X=\dfrac{3}{2} \ \ のとき \quad x=\log_2 \dfrac{3}{2}=\log_2 3-1$

$X=\dfrac{1}{2} \ \ のとき \quad x=\log_2 \dfrac{1}{2}=-1$

$したがって$

(i)$\ \ p=\dfrac{7}{2},\ \ q=\dfrac{9}{2}\ \ のとき \quad a=\log _2 7-1,\ \ b=\log _2 9-1 , \quad b-a=\log_2 -\log_2 7=\log_2 \dfrac{9}{7}$

(ii)$\ \ p=\dfrac{3}{2},\ \ q=\dfrac{7}{2}\ \ のとき \quad a=\log_2 3 -1,\ \ b=\log_27 -1 ,\quad b-a=\log_27-\log_2 3=\log_2 \dfrac{7}{3}$

(iii)$\ \ p=\dfrac{1}{2},\ \ q=\dfrac{3}{2} \ \ のとき \quad a=-\log_2 2=-1,\ \ b=\log_2 3-1,\quad b-a=\log_2 3$

$\dfrac{9}{7} < \dfrac{7}{3} < 3 \ \ だから \ \ b-a \ が最小となる組は$(i)$ の場合で、 \ (a,\ b)=(\log_2 7-1,\ \log_2 9-1)$


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