MY MATH NOTE

　
$x=a(t-\sin t),\quad y=a(1- \cos t) \quad で表される曲線をサイクロイド$
$といいます。$

$\qquad 詳しくは($サイクロイド$)をご覧ください。$

$この図形を \ x\ 軸の回りに回転してできる回転体の体積を求めてみましょう。$
\begin{eqnarray*} V &=&\pi \int _0^{2\pi a} y^2 dx\\ \\ &=&\pi \int _0 ^{2\pi} a^2(1-\cos t)^2 \cdot a(1-\cos t)dt\\ \\ &=&\pi a^3 \int _0 ^{2\pi} (1-\cos t)^3 dt \hspace{3em} (\cos t=1-2\sin ^2 \cfrac{t}{2} \quad だから)\\ \\ &=&\pi a^3 \int _0 ^{2\pi} 8\sin ^6 \cfrac{t}{2} dt \hspace{4em} (\cfrac{t}{2}=u \quad とおくと \quad dt=2du)\\ \\ &=&8\pi a^3 \int _0 ^{\pi} \sin ^6 u \cdot 2du \\ \\ &=&16\pi a^3 \int _0 ^{\pi} \sin ^6 u du \\ \\ &=&16\pi a^3 \big(\int _0 ^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} \sin ^6 u du+ \int _{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}^{\pi} \sin ^6 u du \big)\\ \end{eqnarray*} \[\qquad 積分第2項で \quad \pi -u =s \quad とおくと \quad du=-ds \qquad \begin{array}{c|c} u & \scriptsize{\cfrac{\pi}{2}} \ \ \rightarrow \normalsize{\pi} \\ \hline s & \scriptsize{\cfrac{\pi}{2}} \ \ \rightarrow \normalsize{0} \\ \end{array} \quad だから \] \[第2項=\int _{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}^0 \sin ^6 (\pi -s)(-ds)=\int _0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} \sin ^6 s ds\] $よって$

\begin{eqnarray*} V &=&32\pi a^3 \int _0 ^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} \sin ^6 u du\\ \\ &=&32 \pi a^3 \cdot \cfrac{5}{6} \cdot \cfrac{3}{4} \cdot \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{\pi}{2}\\ \\ &=&5\pi ^2 a^3 \end{eqnarray*} $\qquad この定積分の値の求め方は \ \ $$\int_{0}^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}\sin^m x \cos ^n xdx$ $\ \ をご覧ください$

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