MY MATH NOTE

　
$x=a\cos ^3 t,\quad y=a \sin ^3 t \quad で表される曲線をアステロイドといいます。$

$\qquad 詳しくは($アステロイド$)をご覧ください。$

$この図形を \ x\ 軸の回りに回転してできる回転体の体積を求めてみましょう。$
\begin{eqnarray*} V &=&2\pi \int _0^a y^2 dx\\ \\ &=&2\pi \int _{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}^0 (a\sin ^3 t)^2 \cdot 3a\cos ^2 t (-\sin t)dt\\ \\ &=&6\pi a^3 \int _0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} \sin ^7 t \cos ^2 t dt\\ \\ &=&6\pi a^3 \int _0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} \sin ^7 t (1- \sin ^2 t) dt\\ \\ &=&6\pi a^3 \Big(\int _0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} \sin ^7 t dt - \int _0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} \sin ^9 t dt \big)\\ \\ &=&6 \pi a^3\big(\cfrac{6}{7} \cdot \cfrac{4}{5} \cdot \cfrac{2}{3} - \cfrac{8}{9} \cdot \cfrac{6}{7} \cdot \cfrac{4}{5} \cdot \cfrac{2}{3} \big)\\ \\ &=&\cfrac{32}{105}\pi a^3 \end{eqnarray*} $\qquad この定積分の値の求め方は \ \ $$\int_{0}^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}\sin^m x \cos ^n xdx$ $\ \ をご覧ください$

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