筑波大学(理系) 2026年 問題2
$a,\ b,\ c,\ d\ を実数とし、数列 \ \{x_n\},\ \ |y_n\}\ を以下で定める。$
$\quad x_1=0,\ \ y_1=1,\quad x_{n+1}=ax_n+by_n, \quad y_{n+1}=cx_n+dy_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )$
$また、\theta \ を実数とする。$
$\quad x_2=-2\sin \theta,\quad y_2=2\cos \theta,\qquad x_3=-4\sin(2\theta),\quad y_3=4\cos (2\theta)$
$が成立つとき、以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ \theta=\dfrac{\pi}{2} \ \ のとき、a,\ b,\ c,\ d\ を求めよ。$
$以下では \ \ 0 < \theta <\pi\ \ とする。$
$(2)\ \ a,\ b,\ c,\ d\ を \ \theta \ を用いて表せ。$
$(3)\ \ 一般項 \ x_n,\ \ y_n \ を推測し、その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて示せ。$
$(4)\ \ x_n=256,\ \ y_n=0 \ を満たす自然数 \ n\ と \ \theta \ \ (0 < \theta < \pi)\ \ の組をすべて求めよ。$
(1)
$x_1=0,\quad x_2=-2\sin \dfrac{\pi}{2}=-2,\quad x_3=-4\sin \pi=0 $
$y_1=1,\quad y_2=2\cos \dfrac{\pi}{2}=0,\quad y_3=4\cos \pi=-4 $
$x_2=ax_1+by_1=b=-2$
$y_2=cx_1+dy_1=d=0$
$x_3=ax_2+by_2=-2a=0 \qquad a=0$
$y_3=cx_2+dy_2=-2c=-4 \qquad c=2$
$よって \quad a=0,\ \ b=-2,\ \ c=2,\ \ d=0$
(2)
$x_1=0,\quad x_2=-2\sin \theta ,\quad x_3=-4\sin 2\theta $
$y_1=1,\quad y_2=2\cos \theta ,\quad y_3=4\cos 2\theta $
$x_2=ax_1+by_1=b=-2\sin \theta \hspace{5em}①$
$y_2=cx_1+dy_1=d=2\cos \theta \hspace{5em}②$
$x_3=ax_2+by_2=-2a\sin \theta + 2b\cos \theta =-4\sin 2\theta \hspace{5em}③$
$y_3=cx_2+dy_2=-2c\sin \theta + 2d\cos \theta =4\cos 2\theta \hspace{5.5em}④$
$①を③に代入して$
$-a\sin \theta + (-2\sin \theta)\cos \theta =-2\sin 2\theta$
$-a\sin \theta= 2\sin \theta \cos \theta -4\sin \theta \cos \theta=-2\sin \theta \cos \theta $
$\therefore \ \ a=2\cos \theta$
$②を④に代入して$
$-c\sin \theta + (2\cos \theta)\cos \theta =2\cos 2\theta$
$-c\sin \theta = -2\cos^2 \theta +2\cos 2\theta =-2(1-\sin^2\theta)+2(1-2\sin^2\theta)=-2\sin^2\theta$
$\therefore \ \ c=2\sin \theta$
$以上より \quad a=2\cos \theta,\ \ b=-2\sin \theta , \ \ c=2\sin \theta ,\ \ d=2\cos \theta$
(3)
$x_1=0,\quad x_2=-2\sin (2-1)\theta ,\quad x_3=-2^2\sin (3-1)\theta ,\cdots $
$y_1=1,\quad y_2=2\cos (2-1)\theta ,\quad y_3=2^2\cos (3-1)\theta , \cdots $
$x_n=-2^{n-1}\sin (n-1)\theta,\quad y_n=2^{n-1}\cos (n-1)\theta \ \ と推測できる$
$この推察が正しいことを数学的帰納法で証明する。$
(i)$\ \ n=1 \ \ のとき$
$\quad x_n \ について \quad 左辺=x_1=0,\quad 右辺=-2^0\sin 0=0 \quad よって成りたつ$
$\quad y_n \ について \quad 左辺=y_1=1,\quad 右辺=2^0\cos 0=1 \quad よって成りたつ$
(ii)$\ \ n=k \ \ のとき成りたつとすると$
$\quad x_k=-2^{k-1}\sin (k-1)\theta,\quad y_k=2^{k-1}\cos (k-1)\theta $
$\quad このとき$
\begin{eqnarray*} \quad x_{k+1} &=&2\cos \theta x_k -2\sin \theta y_k\\ \\ &=&2\cos \theta \big(-2^{k-1}\sin (k-1)\theta \big)-2\sin \theta \big(2^{k-1}\cos (k-1)\theta \big)\\ \\ &=&-2^k \cos \theta \sin (k-1)\theta -2^k \sin \theta \cos (k-1)\theta \\ \\ &=&-2^k \big(\sin (k-1)\theta \cos \theta +\cos (k-1)\theta \sin \theta \big)\\ \\ &=&-2^k \sin \big((k-1)\theta + \theta \big)\\ \\ &=&-2^k \sin k\theta \\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \quad y_{k+1} &=&2\sin \theta x_k +2\cos \theta y_k\\ \\ &=&2\sin \theta \big(-2^{k-1}\sin (k-1)\theta \big)+2\cos \theta \big(2^{k-1}\cos (k-1)\theta \big)\\ \\ &=&-2^k \sin \theta \sin (k-1)\theta +2^k \cos \theta \cos (k-1)\theta \\ \\ &=&2^k \big(\cos \theta \cos (k-1)\theta -\sin \theta \sin (k-1)\theta \big)\\ \\ &=&2^k \cos \big(\theta +(k-1)\theta \big)\\ \\ &=&2^k \cos k\theta \\ \end{eqnarray*} $\quad よって \ \ n=k+1 \ \ のときも成りたつ$
(i),(ii)$\ \ よりすべての自然数 \ n\ について \quad x_n=-2^{n-1}\sin (n-1)\theta,\quad y_n=2^{n-1}\cos (n-1)\theta \ \ が成りたつ$
(4)
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} x_n=-2^{n-1}\sin (n-1)\theta =256 \hspace{5em}①\\ y_n=2^{n-1}\cos (n-1)\theta =0 \hspace{6.6em}②\\ \end{array} \right. \]
$②より \quad \cos (n-1)\theta =0 $
$(n-1)\theta =k\pi+\dfrac{\pi}{2}\ \ (k\ は正の整数) \hspace{5em}③\\$
$このとき \ ①は$
$-2^{n-1}\sin (k\pi+\dfrac{\pi}{2})=256$
(i)$\ \ k \ が奇数のとき$
$\quad \sin (k\pi+\dfrac{\pi}{2})=-1 \ \ だから$
$\quad 2^{n-1}=256=2^8$
$\quad n=9$
$\quad このとき③は \quad 8\theta =k\pi+\dfrac{\pi}{2}$
$\quad \theta=\dfrac{\pi}{8}(k+\dfrac{1}{2}) \hspace{5em}④$
$\quad 0 < \theta < \pi \ \ より$
$\quad 0 < \dfrac{\pi}{8}(k+\dfrac{1}{2}) < \pi$
$\quad 0 < k+\dfrac{1}{2} < 8$
$\quad -\dfrac{1}{2} < k < \dfrac{15}{2}$
$\quad k \ は奇数だから \ \ k=1,\ 3,\ 5,\ 7$
$\quad ④に代入して順に \quad \theta= \dfrac{3}{16}\pi,\quad \dfrac{7}{16}\pi,\quad \dfrac{11}{16}\pi,\quad \dfrac{15}{16}\pi$
(ii)$\ \ k \ が偶数のとき$
$\quad \sin (k\pi+\dfrac{\pi}{2})=1 \ \ だから$
$\quad -2^{n-1}=256 \quad これは不適$
$以上より \quad (n,\ \theta)=(9,\ \dfrac{3}{16}\pi),\ \ (9,\ \dfrac{7}{16}\pi ),\ \ (9,\ \dfrac{11}{16}\pi),\ \ (9,\ \dfrac{15}{16}\pi)$
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