筑波大学(理系) 2026年　問題1


$座標空間の \ 5\ 点を \ A(1,\ 0,\ 0),\ B(0,\ 1,\ 0),\ C(0,\ 0,\ 1),\ P(\dfrac{1}{3},\ 0,\ 0),\ Q(0,\ \dfrac{1}{3},\ 0)\ \ とする。$
$0 < r < 1\ \ を満たす実数\ r\ に対して、線分 \ AC\ を \ 1-r:r\ に内分する点を \ R\ とする。$
$(1)\ \ R\ の座標を \ r\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ P,\ Q,\ R\ を通る平面と線分 \ BC\ の交点 \ S\ の座標を、r\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ r\ が \ 0 < r < 1 \ の範囲を動くとき、三角形 \ PQS\ の面積の最小値と、そのときの \ r\ の値を求めよ。$


(1)


$x=r \times 1+(1-r) \times 0=r,\quad y=0 ,\quad z=r \times 0 + (1-r) \times 1=1-r$

$\therefore \ \ R(r,\ 0,\ 1-r) $


(2)

　

$P(\dfrac{1}{3},\ 0,\ 0),\ Q(0,\ \dfrac{1}{3},\ 0),\ R(r,\ 0,\ 1-r)\ \ を通る平面 \ \alpha \ を$

$ax+by+cz=d \ \ とおくと$

$点P((\dfrac{1}{3},\ 0,\ 0)\ を通るから \quad \dfrac{a}{3}=d \ \ より \quad a=3d$

$点Q(0,\ \dfrac{1}{3},\ 0)\ を通るから \quad \dfrac{b}{3}=d \ \ より \quad b=3d$

$点R(r,\ 0,\ 1-r) \ を通るから \quad ar+c(1-r)=d \quad に$

$上の \ 2\ 式を代入して$

$3dr +c(1-r)=d \qquad c(1-r)=(1-3r)d \qquad c=\dfrac{1-3r}{1-r}d$

$よって \quad \alpha : 3dx+3dy+\dfrac{1-3r}{1-r}dz=d$

$3(1-r)x+3(1-r)y+(1-3r)z=1-r$

$また、\vec{OS}=\vec{OC}+k\vec{BC}\ \ (k\ は実数)\ \ とおけるから$

$\vec{OS}=(0,\ 0,\ 1)+k(0,\ -1,\ 1)=(0,\ -k,\ 1+k)$

$点 \ S\ は平面 \ \alpha \ 上にあるから$

$3(1-r)(-k)+(1-3r)(1+k)=1-r$

$\big(-3(1-r)+(1-3r)\big)k+1-3r=1-r$

$\therefore \ \ k=-r$

$よって \quad \vec{OS}=(0,\ r,\ 1-r)\ \ より \quad S(0,\ r,\ 1-r)$


(3)


$P(\dfrac{1}{3},\ 0,\ 0),\ \ Q(0,\ \dfrac{1}{3},\ 0),\ \ S(0,r,1-r) \ \ について$

$\vec{PQ}=(-\dfrac{1}{3},\ \dfrac{1}{3},\ 0),\quad \vec{PS}=(-\dfrac{1}{3},\ r,\ 1-r)$

$\vec{PQ} \cdot \vec{PS}=-\dfrac{1}{3} \times (-\dfrac{1}{3})+\dfrac{1}{3} \times r=\dfrac{1+3r}{9}$

$PQ^2=(-\dfrac{1}{3})^2+(\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{2}{9}$

$PS^2=(-\dfrac{1}{3})^2+r^2+(1-r)^2=2r^2-2r+\dfrac{10}{9}$

$\angle SPQ=\theta \ \ とおくと$

\begin{eqnarray*} \triangle PQS &=&\dfrac{1}{2}PQ \cdot PS \cdot \sin \theta\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}PQ \cdot PS \cdot \sqrt{1-\cos^2 \theta}\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}PQ \cdot PS \cdot \sqrt{1-\big(\dfrac{\vec{PQ}\cdot \vec{PS}}{PQ \cdot PS}\big)^2}\\ \\ &=&\dfrac{1}{2} \sqrt{PQ^2 \cdot PS^2 -(\vec{PQ}\cdot \vec{PS})^2}\\ \\ &=&\dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{2}{9} \times (2r^2-2r+\dfrac{10}{9}) -\big(\dfrac{1+3r}{9}\big)^2}\\ \\ &=&\dfrac{1}{18} \sqrt{18(2r^2-2r+\dfrac{10}{9}) -(1+3r)^2}\\ \\ &=&\dfrac{1}{18} \sqrt{27r^2-42r+19}\\ \\ &=&\dfrac{1}{18} \sqrt{27(r-\dfrac{7}{9})^2+\dfrac{8}{3}}\\ \end{eqnarray*}
$よって、三角形PQS\ の面積の最小値は、0 < r < 1 \ \ の範囲で$

$r=\dfrac{7}{9} \ \ のとき \ \ \dfrac{1}{18} \times \sqrt{\dfrac{8}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{27} \ \ をとる。$


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