筑波大学(理系) 2025年　問題1


$実数の組(a,\ r)\ に関する以下の条件(A)を考える。$
$(A)\ \ 初項 \ a、公比\ r\ の等比数列 \ \{a_n\} \ は、すべての正の整数 \ n\ について \ \ \tan a_{n+1}=\tan 3a_n \ \ を満たす。$
$\quad \ ただし、いずれの正の整数 \ n\ に対しても、a_n,\ および \ \ 3a_n \ \ は \ \ \dfrac{1}{2}\pi+k\pi\ \ (k\ は整数)\ \ の形でない。$
$(1)\ \ 組(a,\ r)\ が条件(A)を満たすとき 、\tan ar=\tan3a \ \ および \ \ \tan ar^2=\tan3ar \ \ が成り立つことを示せ。$
$(2)\ \ 組(a,\ r)\ が条件(A)を満たし、かつ \ \ \dfrac{a}{\pi} が無理数であるとき、r=3\ であることを示せ。$
$(3)\ \ 組(\dfrac{2}{5}\pi,\ r)\ が条件(A)を満たすとき、r\ は整数であることを示せ。$
$(4)\ \ 1 \leqq r \leqq 10 \ \ を満たす \ r\ で、組(\dfrac{2}{5}\pi,\ r)\ \ が条件(A)を満たすものをすべて求めよ。$


(1)


$数列 \ \{a_n\} \ は、初項 \ a_1=a、\ \ 公比\ r\ の等比数列 \ だから一般項は \quad a_n=ar^{n-1}$

$すべての正の整数 \ n\ について \ \ \tan a_{n+1}=\tan 3a_n \ \ を満たすから$

$n=1\ \ のとき \quad \tan a_2=\tan 3a_1 \quad より \quad \tan ar=\tan 3a$

$n=2\ \ のとき \quad \tan a_3=\tan 3a_2 \quad より \quad \tan ar^2=\tan 3ar$


(2)


$(1)より$

$\tan ar=\tan 3a \quad だから \quad ar=3a+\ell \pi \ \ (\ell \ は整数)$

$\tan ar^2=\tan 3ar \quad だから \quad ar^2=3ar+m\pi \ \ (m\ は整数)\ \ とおける。$

$したがって$

$\dfrac{a}{\pi}(r-3)=\ell \hspace{5.5em}①$

$\dfrac{a}{\pi}r(r-3)=m \hspace{5em}②$

$②÷① より \quad r=\dfrac{m}{\ell}$

$右辺は有理数だから \ r\ は有理数$

$このとき①は \quad r \ne 3 \quad とすると \quad \dfrac{a}{\pi}=\dfrac{\ell}{r-3}$

$左辺は無理数、右辺は有理数だからこれは不合理$

$したがって \quad r=3$


(3)


$(2)の① \quad \dfrac{a}{\pi}(r-3)=\ell \quad で \quad a=\dfrac{2}{5}\pi \quad だから$

$2(r-3)=5\ell $

$\ell \ \ は整数で、2 \ と \ 5\ は互いに素だから \quad r-3 \ は \ 5\ の倍数$

$したがって \quad r\ は整数$


(4)


$1 \leqq r \leqq 10 \ \ を満たし、r-3 \ \ が \ 5\ の倍数となる \ r\ は$

$r=3,\ \ 8$


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