東京都立大学(数理) 2025年　問題3


$平面上で、点\ O\ を中心とする半径 \ 1\ の円を考える。この円を内接円とする二等辺三角形ABC \ \ (ただし$
$AB=AC)\ \ を考える。点O\ から辺AB,\ BC\ に下した垂線をそれぞれ \ OD,\ \ OE\ とする。また、線分BE\ の$
$長さを \ x\ とし、\triangle ABC \ の面積と周の長さをそれぞれ \ S\ と \ L\ とする。以下の問いに答えなさい。$
$(1)\ \ 線分AE\ の長さを \ y\ とする。y\ を \ x\ を用いて表しなさい。$
$(2)\ \ 線分AD\ の長さを \ z\ とする。z\ を \ x\ を用いて表しなさい。$
$(3)\ \ x\ が \ \ x > 1\ \ の範囲を動くとき、\dfrac{S}{L}\ \ の値を求めなさい。$
$(4)\ \ x\ が \ \ x > 1\ \ の範囲を動くとき、\dfrac{L^2}{S}\ \ の値が最小となる \ x\ の値を求めなさい。$


(1)

　

$\triangle ABE \ \ において \quad \angle AEB=90 °\ \ だから$

$AB^2=AE^2+BE^2 \ \ より \quad (x+z)^2=y^2+x^2 \hspace{5em}①$

$\triangle AOD \ \ において \quad \angle ADO=90 °\ \ だから$

$AO^2=AD^2+OD^2 \ \ より \quad (y-1)^2=z^2+1 \hspace{5em}②$

$②より \quad z^2=(y-1)^2-1=y^2-2y \qquad z=\sqrt{y^2-2y}$

$①に代入して \quad (x+\sqrt{y^2-2y})^2=y^2+x^2$

$x^2+2x\sqrt{y^2-2y}+(y^2-2y)=y^2+x^2$

$y=x\sqrt{y^2-2y}$

$y^2=x^2(y^2-2y)$

$(x^2-1)y=2x^2$

$\therefore \ \ y=\dfrac{2x^2}{x^2-1}$


(2)


$(1)より \quad z^2=y^2-2y=\dfrac{y^2}{x^2}=\dfrac{1}{x^2}\big(\dfrac{2x^2}{x^2-1}\big)^2$

$z=\dfrac{1}{x}\big(\dfrac{2x^2}{x^2-1}\big)=\dfrac{2x}{x^2-1}$


(3)


$\triangle ABC \ は \ \ AB=AC \ \ の二等辺三角形で、AE \perp BC \ \ だから \quad BE=CE$

$S=\dfrac{1}{2} \times BC \times AE=\cfrac{1}{2} \times 2x \times y=xy=\dfrac{2x^3}{x^2-1}$

$L=2AB+BC=2(x+z)+2x=2(2x+z)=2\big(2x+\dfrac{2x}{x^2-1}\big)=4x(1+\dfrac{1}{x^2-1})=\dfrac{4x^3}{x^2-1}$

$\dfrac{S}{L}=\dfrac{2x^3}{x^2-1} \times \dfrac{x^2-1}{4x^3}=\dfrac{1}{2}$


(4)


$\dfrac{L^2}{S}=\big(\dfrac{4x^3}{x^2-1}\big)^2 \times \dfrac{x^2-1}{2x^3}=\dfrac{8x^3}{x^2-1}$

$f(x)=\dfrac{8x^3}{x^2-1} \quad とおくと$

$f'(x)=\dfrac{24x^2(x^2-1)-8x^3 \times 2x}{(x^2-1)^2}= \dfrac{8x^2(3(x^2-1)-2x^2)}{(x^2-1)^2}=\dfrac{8x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2}$

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & 1 & \cdots & \sqrt{3} & \cdots \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + \\ \hline f(x) & & \searrow & 極小 & \nearrow & \\ \end{array} \]
$f(x)\ は \ \ x=\sqrt{3}\ \ のとき \ \ 極小かつ最小となり最小値は$

$f(\sqrt{3})=\dfrac{8 \times 3\sqrt{3}}{3-1}=12\sqrt{3}$


ページの先頭へ↑



メインメニュー　に戻る