東京都立大学(数理) 2025年　問題2


$w=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i \ \ とし、\alpha \ を \ 0\ でない複素数とする。ただし、i\ は虚数単位を表す。自然数 \ n\ に対して$
\[ \hspace{3em} b_n= \left\{ \begin{array}{l} 1\quad (n\ が奇数のとき)\\ 2\quad (n\ が偶数のとき)\\ \end{array} \right. \] $と定め、z_n=b_nw^n\alpha \quad と定める。以下の問いに答えなさい。$
$(1)\ \ w\ を極形式で表しなさい。$
$(2)\ \ 1+w^2+w^4 \ \ の値を求めなさい。$
$(3)\ \ \dfrac{(z_{n+2}-z_n)(z_{n+4}-z_n)}{z_n^2} \ \ を求めなさい。$
$(4)\ \ \dfrac{(z_{n+1}-z_n)(z_{n+3}-z_n)(z_{n+5}-z_n)}{z_n^3} \ \ を求めなさい。$


(1)


$|w|=\sqrt{(\dfrac{1}{2})^2+(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2}=1$

$\arg(w)=\theta \quad とおくと \quad \tan \theta=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}}=\sqrt{3} \quad だから \quad \theta=\dfrac{\pi}{3}$

$\therefore \ \ w=\cos \dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}$


(2)


\begin{eqnarray*} & &1+w^2+w^4\\ \\ &=&1+(\cos \dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3})^2+(\cos \dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3})^4\\ \\ &=&1+(\cos \dfrac{2}{3}\pi + i\sin\dfrac{2}{3}\pi)+(\cos \dfrac{4}{3}\pi + i\sin\dfrac{4}{3}\pi)\\ \\ &=&1+(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)+(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)\\ \\ &=&0 \end{eqnarray*}

(3)


$w^3=(\cos \dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3})^3=\cos \pi + i\sin \pi=-1$

$よって \quad w^4=w \times w^3=-w \quad だから \quad 1+w^2+w^4=0 \quad より \quad 1-w +w^2=0 $

\[b_n= \left\{ \begin{array}{l} 1\quad (n\ が奇数のとき)\\ 2\quad (n\ が偶数のとき)\\ \end{array} \right. \] $は、まとめると \quad b_n=\dfrac{3+(-1)^n}{2} \quad とおける。このとき$

$b_{n+2}=\dfrac{3+(-1)^{n+2}}{2} =\dfrac{3+(-1)^n}{2}=b_n$

$b_{n+4}=\dfrac{3+(-1)^{n+4}}{2} =\dfrac{3+(-1)^n}{2}=b_n$

$よって$
\begin{eqnarray*} & &\dfrac{(z_{n+2}-z_n)(z_{n+4}-z_n)}{z_n^2}\\ \\ &=&\dfrac{(b_{n+2}w^{n+2}\alpha -b_nw^n\alpha)(b_{n+4}w^{n+4}\alpha -b_nw^n\alpha)}{b_n^2w^{2n}\alpha ^2}\\ \\ &=&\dfrac{w^n\alpha (b_{n+2}w^2-b_n) \times w^n\alpha (b_{n+4}w^4-b_n)}{b_n^2 w^{2n}\alpha ^2}\\ \\ &=&\dfrac{(b_{n+2}w^2-b_n)(b_{n+4}w^4-b_n)}{b_n^2}\\ \\ &=&\dfrac{(b_nw^2-b_n)(b_nw^4-b_n)}{b_n^2}\\ \\ &=&(w^2-1)(w^4-1)\\ \\ &=&(w^2-1)(-w-1)\\ \\ &=&-w^3-w^2+w+1\\ \\ &=&-(w^2-w)+2\\ \\ &=&-(-1)+2\\ \\ &=&3 \end{eqnarray*}

(4)


$b_{n+3}=\dfrac{3+(-1)^{n+3}}{2} =\dfrac{3+(-1)^{n+1}}{2}=b_{n+1}$

$b_{n+5}=\dfrac{3+(-1)^{n+5}}{2} =\dfrac{3+(-1)^{n+1}}{2}=b_{n+1}$

\begin{eqnarray*} & &\dfrac{(z_{n+1}-z_n)(z_{n+3}-z_n)(z_{n+5}-z_n)}{z_n^3}\\ \\ &=&\dfrac{1}{b_n^3w^{3n}\alpha ^3}(b_{n+1}w^{n+1}\alpha -b_nw^n\alpha)(b_{n+3}w^{n+3}\alpha -b_nw^n\alpha)(b_{n+5}w^{n+5}\alpha -b_nw^n\alpha)\\ \\ &=&\dfrac{1}{b_n^3}(b_{n+1}w -b_n)(b_{n+3}w^3 -b_n)(b_{n+5}w^5-b_n)\\ \\ &=&\dfrac{1}{b_n^3}(b_{n+1}w -b_n)(-b_{n+3} -b_n)(-b_{n+5}w^2-b_n)\\ \\ &=&\dfrac{1}{b_n^3}(b_{n+3} +b_n)(b_{n+1}w -b_n)(b_{n+5}w^2+b_n)\\ \\ &=&\dfrac{1}{b_n^3}(b_{n+1} +b_n)(b_{n+1}w -b_n)(b_{n+1}w^2+b_n)\\ \\ &=&\dfrac{1}{b_n^3}(b_{n+1} +b_n)(b_{n+1}^2w^3 -(w^2-w)b_nb_{n+1}-b_n^2)\\ \\ &=&\dfrac{1}{b_n^3}(b_{n+1} +b_n)(-b_{n+1}^2 +b_nb_{n+1}-b_n^2)\\ \\ &=&-\dfrac{1}{b_n^3}(b_{n+1} +b_n)(b_{n+1}^2 -b_nb_{n+1}+b_n^2)\\ \\ &=&-\dfrac{1}{b_n^3}(b_{n+1}^3 +b_n^3)\\ \end{eqnarray*}
(i)$\ \ n\ が奇数のとき \quad b_n=1,\quad b_{n+1}=2 \quad だから \quad 与式=-(2^3+1^3)=-9$

(ii)$\ \ n\ が偶数のとき \quad b_n=2,\quad b_{n+1}=1 \quad だから \quad 与式=-\dfrac{1}{2^3}(1^3+2^3)=-\dfrac{9}{8}$


ページの先頭へ↑



メインメニュー　に戻る