東京都立大学(数理) 2024年 問題3
\[自然数 \ n=1,\ 2,\ \cdots \ \ に対し、f_1(x)=e^x-1,\ \ f_2(x)=e^x-(1+x), \ \cdots \ , \ f_n(x)=e^x - \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{k!}x^k ,\ \ \cdots \ \ \]
$とおく。以下の問いに答えなさい。$
\[(1)\ \ 自然数 \ n\ に対し、f_{n+1}=\int_0^xf_n(t)dt \ \ が成り立つことを示しなさい。\]
$(2)\ \ 0 \leqq x \leqq 1 \ \ の範囲で、0 \leqq f_1(x) \leqq ex \ \ が成り立つことを示しなさい。$
$(3)\ \ すべての自然数 \ n\ に対して、0 \leqq x \leqq 1 \ \ の範囲で \ \ 0 \leqq f_n(x) \leqq e \cdot \dfrac{x^n}{n!} \ \ が成り立つことを小問(1),(2)と$
$\quad 数学的帰納法を用いて示しなさい。$
\[(4)\ \ 次の等式が成り立つことを示しなさい。 \quad e=\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!}\]
(1)
\begin{eqnarray*} & &\int_0^xf_n(t)dt\\ \\ &=&\int_0^x \big(e^t - \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{k!}t^k\big)dt\\ \\ &=&\Big[e^t - \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{k!} \times \dfrac{t^{k+1}}{k+1}\Big]_0^x\\ \\ &=&e^x - \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{(k+1)!} x^{k+1} -1\\ \end{eqnarray*}
$ここで、k+1=m \quad とおくと$
\begin{eqnarray*} & &\int_0^xf_n(t)dt\\ \\ &=&e^x - \sum_{m=1}^n \dfrac{1}{m!} x^m -1\\ \\ &=&e^x - \sum_{m=0}^n \dfrac{1}{m!} x^m \\ \\ &=&e^x - \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} x^k \\ \\ &=&f_{n+1}(x) \end{eqnarray*}
(2)
$f_1(x)=e^x-1 \ \ は単調増加から \quad f_1(x) \geqq f_1(0)=0$
$g(x)=ex-(e^x-1) \quad とおくと$
$g'(x)=e-e^x \qquad g''(x)=-e^x$
$0 \leqq x \leqq 1 \ \ で、g''(x) < 0 \ \ だから \ \ g'(x)\ は単調減少$
$g'(x) \geqq g'(1)=0 \ \ となって \ \ g(x)\ は単調増加$
$g(x) \geqq g(0)=0$
$よって \quad 0 \leqq x \leqq 1 \ \ の範囲で、0 \leqq f_1(x) \leqq ex \ \ が成り立つ。$
(3)
(i)$\ \ n=1 \ \ のとき$
$\quad (2)より \quad 0 \leqq f_1(x) \leqq ex \quad がいえているから成り立つ。$
(ii)$\ \ n=k \ \ のとき成り立つとすると$
$\quad 0 \leqq f_k(x) \leqq e \cdot \dfrac{x^k}{k!}$
$\quad このとき (1)より$
\begin{eqnarray*} \quad & &f_{k+1}(x)\\ \\ &=&\int_0^xf_k(t)dt\\ \\ &\leqq&\int_0^x e \cdot \dfrac{t^k}{k!}dt\\ \\ &=&\cfrac{e}{k!}\big[\dfrac{t^{k+1}}{k+1}\big]_0^x\\ \\ &=&e \cdot \cfrac{x^{k+1}}{(k+1)!}\\ \end{eqnarray*}
$\quad よって \ \ n=k+1 \ のときも成り立つ。$
(i),(ii)$\ \ よりすべての自然数 \ n\ に対して、0 \leqq x \leqq 1 \ \ の範囲で \ \ 0 \leqq f_n(x) \leqq e \cdot \dfrac{x^n}{n!} \ \ が成り立つ。$
(4)
$(3)より \quad 0 \leqq f_n(x) \leqq e \cdot \dfrac{x^n}{n!}$
\[一方、題意より \quad f_n(x)=e^x - \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{k!}x^k \quad だから\]
\[0 \leqq e^x - \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{k!}x^k \leqq e \cdot \dfrac{x^n}{n!}\]
$x=1 \ \ とおくと$
\[0 \leqq e - \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{k!} \leqq \dfrac{e}{n!}\]
$n \longrightarrow \infty \ \ とすると \quad 右辺 \ \ \longrightarrow 0$
\[はさみうちの原理により \quad e - \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \longrightarrow 0\]
\[したがって \quad e=\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!}\]
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