東京都立大学(数理) 2024年 問題1
$正の整数 \ l,\ m ,\ n\ が関係式 \ \ l^2+m^2=n^2 \ \ をみたすとする。このとき以下の問いに答えなさい。$
$(1)\ \ 正の整数 \ k\ に対し、k^2\ を \ 4\ で割った余りは \ 0\ か \ 1\ のいずれかになることを示しなさい。$
$(2)\ \ l\ が奇数ならば \ m\ が偶数であることを、背理法を用いて示しなさい。$
$(3)\ \ l\ が奇数ならば \ m\ は \ 4\ で割り切れることを示しなさい。$
(1)
$p\ は正の整数として$
(i)$\ \ k=2p \quad のとき$
$\quad k^2=4p^2 \ \ だから \ 4\ で割った余りは \ \ 0$
(ii)$\ \ k=2p+1 \quad のとき$
$\quad k^2=(2p+1)^2=4(p^2+p)+1 \ \ だから \ 4\ で割った余りは \ \ 1$
$よって、k^2\ を \ 4\ で割った余りは \ 0\ か \ 1\ のいずれかになる。$
(2)
$正の整数 \ l,\ m ,\ n\ が\ \ l^2+m^2=n^2 \ \ をみたすとき$
$l\ が奇数ならば \ m\ も奇数であるとすると$
$q,\ r\ を正の整数として \quad l=2q-1,\quad m=2r-1 \quad とおけるから$
$n^2=l^2+m^2=(2q-1)^2+(2r-1)^2=4(q^2-q+r^2-r)+2$
$これは、n^2\ を \ 4\ で割った余りが \ 2\ になることを示しているが(1)に矛盾する。$
$したがって l\ が奇数ならば \ m\ は偶数である。$
(3)
$(2)より、l\ が奇数ならば、m\ は偶数だから、s,\ t\ を正の整数として$
$l=4s \pm 1,\quad m=4t \ \ あるいは \ \ m=4t-2 \quad とおける。$
$m=4t-2 \quad とすると$
\begin{eqnarray*} n^2 &=&l^2+m^2\\ \\ &=&(4s \pm 1)^2+(4t-2)^2\\ \\ &=&\big\{8(2s^2 \pm s)+1\big\} + \big\{16(t^2-t)+4\big\}\\ \\ &=&8(2s^2 \pm s +2t^2-2t)+5 \\ \end{eqnarray*} $よって \ \ n^2\ を \ 8\ で割った余りは \ 5\ である。\hspace{5em}①$
$一方、l\ は奇数だから \ l^2\ も奇数、m\ は偶数だから \ m^2\ も偶数である。$
$したがって \quad n^2=l^2+m^2＝(奇数)＋(偶数)=(奇数) \quad だから \ n\ も奇数である。$
$（このことについては($転換法$)を参考にしてください。）$
$よって \quad n=4u \pm 1 \quad とおけるから \quad n^2=8(2u^2 \pm u)+1$
$これは \ \ n^2\ を \ 8\ で割った余りは \ 1\ であることを示しており、①に矛盾する。$
$よって \quad m=4t \quad である。$
$すなわち \ l\ が奇数ならば \ m\ は \ 4\ で割り切れる。$
$(補充)$
$l^2+m^2=n^2 \ \ をみたす正の整数 \ l,\ m ,\ n\ の組をピタゴラス数といいます。$
$例えば、(3,4\ ,\ 5),\ \ (5,\ 12,\ 13),\ \ (7,\ 24,\ 25),\ \ (9,\ 40,\ 41),\ \ \cdots \ \ など無数あります。$
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