東京都立大学(理系) 2025年　問題2


\[自然数 \ n\ に対し、I_n=\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} \cos ^n xdx \ \ とおく。以下の問いに答えなさい。\] $(1)\ \ I_1 \ と \ I_2 \ の値を求めなさい。$
$(2)\ \ \dfrac{I_{n+2}}{I_n} \ \ を求めなさい。必要ならば部分積分を用いてよい。$
$(3)\ \ (n+1)I_nI_{n+1} \ \ を求めなさい。$


(1)


\[I_1=\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} \cos xdx=\big[\sin x\big]_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}=\sin \dfrac{\pi}{2}=1\]
\[I_2=\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} \cos^2 xdx=\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} \dfrac{1+\cos 2x}{2}dx=\dfrac{1}{2}\big[x+\dfrac{1}{2}\sin 2x\big]_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}=\dfrac{1}{2}\big(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{2}\sin \pi\big)=\dfrac{\pi}{4}\]

(2)

\begin{eqnarray*} I_{n+2} &=&\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} \cos ^{n+2} xdx\\ \\ &=&\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} \cos x \cos^{n+1} xdx\\ \\ &=&\big[\sin x \cos ^{n+1} x\big]_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}- \int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} \sin x \cdot (n+1)\cos^n x (-\sin x)dx\\ \\ &=&(n+1)\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} \sin ^2x \cos^n x dx\\ \\ &=&(n+1)\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} (1-\cos ^2x) \cos^n x dx\\ \\ &=&(n+1)\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} (\cos ^n x -\cos ^{n+2}x)dx\\ \\ &=&(n+1)(I_n-I_{n+2}) \end{eqnarray*} $\therefore \ \ (n+2)I_{n+2}=(n+1)I_n$

$よって \quad \dfrac{I_{n+2}}{I_n}=\cfrac{n+1}{n+2}$


(3)


$(2)より \quad \dfrac{I_{n+2}}{I_n}=\cfrac{n+1}{n+2} \quad だから \quad n \longrightarrow n-1 \quad とおいて \quad \dfrac{I_{n+1}}{I_{n-1}}=\cfrac{n}{n+1}$

$分母をはらって \quad (n+1)I_{n+1}=nI_{n-1}$

$両辺に \ \ I_n \ \ (\ne 0) \ \ をかけて$

$(n+1)I_nI_{n+1} =nI_{n-1}I_n$

$nI_{n-1}I_n=J_n \quad とおくと \quad J_{n+1}=J_n \quad だから$

$J_{n+1}=J_n=J_{n-1}=\cdots =J_2=2I_1I_2=2 \times 1 \times \dfrac{\pi}{4}=\cfrac{\pi}{2}$

$よって \quad (n+1)I_nI_{n+1} =\dfrac{\pi}{2}$


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