東京都立大学(理系) 2025年　問題1


$次の条件によって定まる数列 \ \{a_n\},\ \ \{b_n\}\ \ について考える。$
\[ \hspace{3em} a_1=4,\quad b_1=2,\quad \left\{ \begin{array}{l} a_{n+1}=4a_n^3b_n^4\\ \hspace{7em}(n=1,2,3,\cdots)\\ b_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_nb_n^3\\ \end{array} \right. \] $以下の問いに答えなさい。$
$(1)\ \ 数列 \ \{c_n\}\ を \ \ c_n=\log _2a_n -2\log _2 b_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ) \ \ と定める。\{c_n\} \ の一般項を求めなさい。$
$(2)\ \ 数列 \ \{d_n\}\ を \ \ d_n=\log _2a_n +2\log _2 b_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ) \ \ と定める。\{d_n\} \ の一般項を求めなさい。$
$(3)\ \ 数列 \ \{a_n\} ,\ \ \{b_n\} \ \ の一般項を求めなさい。$


$底 \ 2\ の対数をとって$

$\log_2 a_{n+1}=\log_24+\log_2a_n^3+\log_2b_n^4=2+3\log_2a_n+4\log_2b_n$

$\log_2 b_{n+1}=\log_2\dfrac{1}{2}+\log_2a_n+\log_2b_n^3=-1+\log_2a_n+3\log_2b_n$

$\log_2a_n=p_n,\quad \log_2b_n=q_n \quad とおくと$

$p_{n+1}=2+3p_n+4q_n \qquad p_1=\log_2a_1=\log_24=2$

$q_{n+1}=-1+p_n+3q_n \qquad q_1=\log_2b_1=\log_22=1$

(1)


$c_n=\log _2a_n -2\log _2 b_n=p_n-2q_n$

$c_1=p_1-2q_1=2-2 \times 1=0$
\begin{eqnarray*} c_{n+1} &=&p_{n+1}-2q_{n+1}\\ \\ &=&(2+3p_n+4q_n)-2(-1+p_n+3q_n )\\ \\ &=&4+p_n-2q_n\\ \\ &=&4+c_n \end{eqnarray*} $\{c_n\}は公差 \ 4\ の等差数列だから$

$c_n=c_1+(n-1) \times 4=4(n-1)$


(2)


$d_n=\log _2a_n +2\log _2 b_n=p_n+2q_n$

$d_1=p_1+2q_1=2+2 \times 1=4$
\begin{eqnarray*} d_{n+1} &=&p_{n+1}+2q_{n+1}\\ \\ &=&(2+3p_n+4q_n)+2(-1+p_n+3q_n )\\ \\ &=&5p_n+10q_n\\ \\ &=&5(p_n+2q_n)\\ \\ &=&5d_n \end{eqnarray*} $\{d_n\}は公比 \ 5\ の等比数列だから$

$d_n=d_1 5^{n-1} =4 \cdot 5^{n-1}$


(3)


$(1)より \quad c_n=p_n-2q_n=4(n-1) \hspace{5em}①$

$(2)より \quad d_n=p_n+2q_n=4 \cdot 5^{n-1} \hspace{5.5em}②$

$①+②より \quad 2p_n=4(n-1)+4 \cdot 5^{n-1} \qquad \therefore \ \ p_n=2(n-1+ 5^{n-1})$

$①に代入して$

$q_n=\dfrac{1}{2}p_n-2(n-1)=\{(n-1)+ 5^{n-1}\}-2(n-1)=1-n+5^{n-1}$

$よって$

$a_n=\large{2^{2(n-1+ 5^{n-1})}}=4^{n-1+ 5^{n-1}}$

$b_n=\large{2^{1-n+ 5^{n-1}}}$


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