東京都立大学(理系) 2024年 問題3
$1,\ 2,\ 3,\ 4\ の番号がついた玉が \ 1\ 個ずつあり、これらが \ 1\ つの袋に入っている。机の上には \ 1,\ 2,\ 3,\ 4\ の$
$番号がついたカードが \ 1\ 枚ずつ置かれている。袋から玉を \ 1\ 個取り出し、ついている番号を確認して袋$
$に戻し、もし同じ番号のカードが机の上に残っていればそのカードを取り除く。この操作を繰り返す。$
$なお、すべてのカードが取り除かれても、操作は継続するものとする。以下の問いに答えなさい。$
$(1)\ \ 操作を \ 3\ 回終えたとき、カードが \ 3\ 枚残っている確率を求めなさい。$
$(2)\ \ 操作を \ 3\ 回終えたとき、1\ の番号のカードが残っていない確率を求めなさい。$
$(3)\ \ n\ を \ 2\ 以上の整数とする。操作を \ n\ 回終えたとき、カードがちょうど \ 2\ 枚残っている確率を求めなさい。$
$(4)\ \ ちょうど \ 4\ 回目の操作でカードが取り除かれて \ 1\ の番号のカードだけが残る確率を求めなさい。$
(1)
$3\ 回とも同じ番号の玉を取り出した場合で、その確率は \ \ \big(\dfrac{1}{4}\big)^3$
$番号は \ 1～4\ の \ 4\ 通りあるから、求める確率 \ P\ は$
$P=4 \times \big(\dfrac{1}{4}\big)^3=\cfrac{1}{16}$
(2)
$3\ 回のうち少なくとも \ 1\ 回 \ 1\ の番号がついた玉が取り出される事象であるが、$
$この余事象は、3\ 回とも \ 1\ の番号がついた玉が取り出されない事象である。$
$これはすなわち、3\ 回とも \ 2,\ 3,\ 4\ の番号がついた玉取り出される事象であるからその確率は \quad \big(\dfrac{3}{4}\big)^3$
$よって、求める確率 \ P\ は$
$P=1-\big(\dfrac{3}{4}\big)^3=1-\cfrac{27}{64}=\cfrac{37}{64}$
(3)
$例えば、3,\ 4\ の番号がついたカードが残る場合は$
$n\ 回の操作で、3,\ 4の番号がついた玉は1\ 回も取り出されず、1,\ 2\ の番号がついた玉が取り出さればよい。$
$ただし、n\ 回ともすべて \ 1\ あるいはすべて \ 2\ の場合は除く。$
$その確率は \quad \big(\cfrac{2}{4}\big)^n-2\big(\cfrac{1}{4}\big)^n=\cfrac{2^n-2}{4^n}$
$残る\ 2\ 枚のカードの選び方は、{}_4C_2=\cfrac{4 \times 3}{2}=6 \ \ 通り$
$よって、求める確率 \ P\ は$
$P=6 \times \cfrac{2^n-2}{4^n}=\cfrac{6(2^n-2)}{4^n}$
(4)
$例えば、4\ 回目の操作で初めて\ 2\ の番号がついた玉がが取り出されてカード \ 2\ が取り除かれる場合は$
$初めの\ 3\ 回の操作で、3,\ 4\ の番号がついた玉が取り出さればよい。その確率は(3)より \quad \cfrac{2^3-2}{4^3}$
$続いて、4\ 回目の操作で \ 2\ の番号がついた玉が取り出さればよいからその確率は \quad \cfrac{2^3-2}{4^3} \times \cfrac{1}{4}$
$4\ 回目の操作で初めて \ 2\ の番号以外に \ 3,\ 4\ の番号がついた玉がが取り出されてもよいから、3\ 通りある。$
$よって、求める確率 \ P\ は$
$P=\cfrac{2^3-2}{4^3} \times \cfrac{1}{4} \times 3=\cfrac{9}{128}$
メインメニュー に戻る