東京大学(理系) 2024年　問題2


\[次の関数 \ f(x)を考える。f(x)=\int_0^1 \dfrac{|t-x|}{1+t^2}dt \quad (0 \leqq x \leqq 1)\] $(1)\ \ 0 < \alpha < \dfrac{\pi}{4} \ \ を満たす実数 \ \alpha \ で、f(\tan \alpha)=0 \ \ となるものを求めよ。$
$(2)\ \ (1) で求めた \ \alpha \ に対し、\tan \alpha \ \ の値を求めよ。$
$(3)\ \ 関数 \ f(x)\ の区間 \ \ 0 \leqq x \leqq 1 \ \ における最大値と最小値を求めよ。必要ならば、0.69 < \log 2 < 0.7 $
$\quad であることを用いてよい。$


(1)

\[ |t-x|= \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} -t+x \quad (0 \leqq t \leqq x)\\ t-x \ \ \quad ( x \leqq t \leqq 1)\\ \end{array} \right. \qquad だから \]
\begin{eqnarray*} f(x) &=&\int_0^x \dfrac{-t+x}{1+t^2}dt +\int_x^1 \dfrac{t-x}{1+t^2}dt\\ \\ &=&-\int_0^x \dfrac{t}{1+t^2}dt +x \int_0^x \dfrac{1}{1+t^2}dt +\int_x^1 \dfrac{t}{1+t^2}dt -x \int_x^1 \dfrac{1}{1+t^2}dt\\ \\ &=&-\int_0^x \dfrac{t}{1+t^2}dt +x \int_0^x \dfrac{1}{1+t^2}dt -\int_1^x \dfrac{t}{1+t^2}dt +x \int_1^x \dfrac{1}{1+t^2}dt\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} f'(x) &=&-\dfrac{x}{1+x^2} + \int_0^x \dfrac{1}{1+t^2}dt + \dfrac{x}{1+x^2} - \dfrac{x}{1+x^2} + \int_1^x \dfrac{1}{1+t^2}dt + \dfrac{x}{1+x^2}\\ \\ &=&\int_0^x \dfrac{1}{1+t^2}dt + \int_1^x \dfrac{1}{1+t^2}dt \\ \end{eqnarray*}
$ここで、t=\tan \theta \ \ (-\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2} ) \ \ は単調増加関数だから \ 1\ 対 \ 1\ 対応となり、逆関数が考えられるので$

$それを \quad \theta =\tan ^{-1} t \ \ と表すことにする。$

$このとき$

(i)$\ \ \tan ^{-1}0=0,\qquad \tan ^{-1}1=\cfrac{\pi}{4}$

(ii)$\ \ \tan \theta=\tan (\tan ^{-1}t)=t , \qquad \theta =\tan ^{-1} t= \tan ^{-1} (\tan \theta)$

(iii)$ \ \ t=\tan \theta \quad より \quad dt=\cfrac{d\theta}{\cos ^2 \theta} \quad だから$

\[\quad \int \dfrac{dt}{1+t^2}=\int \dfrac{1}{1+\tan ^2 \theta} \times \cfrac{d\theta}{\cos ^2 \theta}=\int d\theta =\theta=\tan ^{-1} t\]
$これらのことから$

\begin{eqnarray*} f'(x) &=&\int_0^x \dfrac{1}{1+t^2}dt + \int_1^x \dfrac{1}{1+t^2}dt \\ \\ &=&\big[\tan ^{-1}t\big]_0^x +\big[\tan ^{-1}t\big]_1^x \\ \\ &=&\tan ^{-1}x + \tan ^{-1}x - \cfrac{\pi}{4} \\ \\ &=&2\tan ^{-1}x - \cfrac{\pi}{4} \end{eqnarray*} $x=\tan \alpha \quad とおくと$

$f'(\tan \alpha)=2\tan ^{-1}(\tan \alpha)- \cfrac{\pi}{4}=2\alpha -\cfrac{\pi}{4}$

$f'(\tan \alpha)=0 \quad より \quad 2\alpha -\cfrac{\pi}{4}=0 $

$よって \quad \alpha =\cfrac{\pi}{8}$


(2)


$2\alpha =\cfrac{\pi}{4} \quad だから \quad \tan 2\alpha=1$

$また \quad \tan 2\alpha=\cfrac{2\tan \alpha}{1-\tan ^2 \alpha} \quad だから$

$\cfrac{2\tan \alpha}{1-\tan ^2 \alpha}=1$

$\tan^2\alpha +2\tan \alpha -1=0$

$0 < \alpha < \dfrac{\pi}{4} \ \ より \quad 0 < \tan \alpha <1$

$\therefore \ \ \tan \alpha =-1+\sqrt{1+1}=\sqrt{2}-1$


(3)


$(1)より$

\begin{eqnarray*} f(x) &=&-\int_0^x \dfrac{t}{1+t^2}dt +x \int_0^x \dfrac{1}{1+t^2}dt -\int_1^x \dfrac{t}{1+t^2}dt +x \int_1^x \dfrac{1}{1+t^2}dt\\ \\ &=&-\big[\dfrac{1}{2}\log(1+t^2) \big]_0^x +x \big[\tan ^{-1}t\big]_0^x - \big[\dfrac{1}{2}\log(1+t^2)\big]_1^x + x \big[\tan ^{-1}t\big]_1^x \\ \\ &=&-\dfrac{1}{2}\log(1+x^2) +x \tan ^{-1}x - \dfrac{1}{2}\log(1+x^2) +\cfrac{1}{2}\log 2 + x \tan ^{-1}x -\cfrac{\pi}{4}x \\ \\ &=&-\log(1+x^2) + 2x \tan ^{-1}x -\cfrac{\pi}{4}x + \cfrac{1}{2}\log 2\\ \end{eqnarray*}
$(1)より \quad f'(x)=2\tan ^{-1}x - \cfrac{\pi}{4} \quad だから \quad f'(x)=0 \ \ より \quad \tan ^{-1}x=\cfrac{\pi}{8}$

$x=\tan \dfrac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1$

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x& 0 & \cdots & \sqrt{2}-1 & \cdots & 1\\ \hline f'(x)& & - & 0 & + & \\ \hline f(x)& & \searrow & 極小 & \nearrow & \\ \end{array} \]
$f(x)\ の最大値は$

$f(0)=\cfrac{1}{2}\log 2$

$f(1)=- \log 2+ 2\tan ^{-1} 1 - \cfrac{\pi}{4}+ \cfrac{1}{2}\log 2=\cfrac{\pi}{4}- \cfrac{1}{2}\log 2$

$f(1)-f(0)=\cfrac{\pi}{4}- \log 2=\cfrac{\pi-4\log 2}{4}$

$4 \times 0.69 < 4\log 2 < 4 \times 0.7 \ \ だから \ \ 　2.76 < 4\log 2 < 2.8 \quad よって \quad \pi -4\log 2 >0$

$f(1) > f(0) \ \ だから \ \ f(x)\ は \ x=1 \ のとき最大値 \ \ f(1)=\cfrac{\pi}{4}- \cfrac{1}{2}\log 2 \ \ をとる$

$f(x)\ は \ \ x=\sqrt{2}-1=\tan \dfrac{\pi}{8} \ \ で極小かつ最小となるから最小値は$

\begin{eqnarray*} f(\sqrt{2}-1) &=&-\log(1+(\sqrt{2}-1)^2) + 2(\sqrt{2}-1) \times \cfrac{\pi}{8} -\cfrac{\pi}{4}(\sqrt{2}-1) + \cfrac{1}{2}\log 2\\ \\ &=&-\log(4-2\sqrt{2}) + \cfrac{1}{2}\log 2\\ \\ &=&-\log 2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1) + \cfrac{1}{2}\log 2\\ \\ &=&-\dfrac{3}{2}\log 2 - \log(\sqrt{2}-1) + \cfrac{1}{2}\log 2\\ \\ &=&-\log 2 - \log(\sqrt{2}-1) \end{eqnarray*}

ページの先頭へ↑



メインメニュー　に戻る