東京科学(理系) 2026年 問題5
$n,\ k\ を正の整数とする。次の不等式をみたす最小の \ k\ を求めよ。$
\[\hspace{5em} \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^{100}x^ke^{-x}\sin^2(nx)dx > 10\]
$ただし、e\ は自然対数の底であり、e > 2\ をみたす。$
\begin{eqnarray*} I &=&\int_0^{100}x^ke^{-x}\sin^2(nx)dx \\ \\ &=&\dfrac{1}{2}\int_0^{100}x^ke^{-x}(1-\cos(2nx))dx \\ \\ &=&\dfrac{1}{2}\int_0^{100}x^ke^{-x}dx - \dfrac{1}{2}\int_0^{100}x^ke^{-x}\cos(2nx)dx \\ \end{eqnarray*}
$第 \ 2\ 項の定積分を部分積分すると$
\begin{eqnarray*} & &\int_0^{100}x^ke^{-x}\cos(2nx)dx \\ \\ &=&\big[x^ke^{-x} \times \dfrac{\sin(2nx)}{2n} \big]_0^{100}- \int_0^{100}(kx^{k-1}e^{-x}-x^ke^{-x}) \times \dfrac{\sin(2nx)}{2n}dx \\ \\ &=&100^k e^{-100} \times \dfrac{\sin(200n)}{2n} - k\int_0^{100}(x^{k-1}e^{-x} \times \dfrac{\sin(2nx)}{2n}dx + \int_0^{100}x^ke^{-x} \times \dfrac{\sin(2nx)}{2n}dx \\ \end{eqnarray*}
$第 \ 1\ 項は \quad 100^k e^{-100}\ \ は有限な実数だから \quad n \longrightarrow \infty \ \ とすると$
$|100^k e^{-100} \times \dfrac{\sin(200n)}{2n}| \leqq |100^k e^{-100} \times \dfrac{1}{2n}| \longrightarrow 0$
$第 \ 2\ 項と第 \ 3\ 項は \quad x^{k-1}e^{-x} \ \ と \ x^ke^{-x}\ \ はともに区間 \ [0,\ 100]\ で積分可能で有限な値だから \quad n \longrightarrow \infty \ \ とすると$
\[|k\int_0^{100}x^{k-1}e^{-x} \times \dfrac{\sin(2nx)}{2n}dx| \leqq k\int_0^{100}|x^{k-1}e^{-x} \times \dfrac{\sin(2nx)}{2n}|dx \leqq \dfrac{k}{2n}\int_0^{100}x^{k-1}e^{-x}dx \longrightarrow 0\] \[|\int_0^{100}x^ke^{-x} \times \dfrac{\sin(2nx)}{2n}dx| \leqq \int_0^{100}|x^ke^{-x} \times \dfrac{\sin(2nx)}{2n}|dx \leqq \dfrac{1}{2n}\int_0^{100}x^ke^{-x}dx \longrightarrow 0\]
\[したがって \quad n \longrightarrow \infty \ \ のとき \quad \int_0^{100}x^ke^{-x}\cos(2nx)dx \longrightarrow 0\]
$(補充)$
$f(x)\ が区間 \ [a,\ b]\ で積分可能ならば $
\[\lim_{n \rightarrow \infty} \int_a^b f(x)\sin nxdx =0, \qquad \lim_{n \rightarrow \infty}\int_a^b f(x)\cos nxdx =0\]
$これを「リーマン・ルベーグの定理」といい、フーリエ級数の収束などに使われます。$
$詳しくは$リーマン・ルベーグの定理$をご覧ください。$
$そこで、定積分 \ I\ の第 \ 1\ 項をあらためて \ I(k)\ とおくと$
\begin{eqnarray*} I(k) &=&\dfrac{1}{2}\int_0^{100}x^ke^{-x}dx\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}\big[-x^ke^{-x}\big]_0^{100} + \dfrac{1}{2}\int_0^{100}kx^{k-1}e^{-x}dx\\ \\ &=&-\dfrac{1}{2} 100^ke^{-100} + \dfrac{k}{2}\int_0^{100}x^{k-1}e^{-x}dx\\ \\ &=&-\dfrac{1}{2} 100^ke^{-100} + kI(k-1)\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} I(1) &=&\dfrac{1}{2}\int_0^{100}xe^{-x}dx\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}\big[-xe^{-x}\big]_0^{100} + \dfrac{1}{2}\int_0^{100}e^{-x}dx\\ \\ &=&-\dfrac{1}{2} 100e^{-100} - \dfrac{1}{2}\big[e^{-x}\big]_0^{100}\\ \\ &=&-\dfrac{1}{2} 100e^{-100} - \dfrac{1}{2}e^{-100}+\dfrac{1}{2}\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}-\dfrac{101}{2}e^{-100} \end{eqnarray*}
$ここで \quad 2^{10} =1024 \fallingdotseq 10^3 \ \ だから$
$両辺の常用対数をとって \quad \log_{10}2^{10}=\log_{10}10^3$
$10\log_{10}2=3 \qquad \log_{10}2=0.3$
$e > 2\ \ より \quad e^{-100} < 2^{-100} \ \ だから$
$両辺の常用対数をとって \quad \log_{10}e^{-100} < \log_{10}2^{-100}=-100\log_{10}2=-100 \times 0.3=-30$
$e^{-100}\ は \ 10^{-30} \ 程度の数だから \quad 100^ke^{-100}=10^{2k-30}$
$よって \quad k < 15 \ \ のときは \ \ 10^ke^{-100}\ \ は無視できる。$
$このとき \quad I(k)=kI(k-1)=k(k-1)I(k-2)= \cdots =k(k-1)(k-2) \cdots 2I(1)=k!(\dfrac{1}{2}-\dfrac{101}{2}e^{-100})$
$\dfrac{101}{2}e^{-100}\ \ は無視すると \quad I(k)=\dfrac{1}{2}k!$
$I(2)=\dfrac{1}{2}2!=1$
$I(3)=\dfrac{1}{2}3!=3$
$I(4)=\dfrac{1}{2}4!=12$
$よって求める最小の\ k\ の値は \quad k=4$
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