東京科学(理系) 2026年 問題1
$(1)\ \ x\ は無理数であり、有理数 \ a,\ b\ および正の整数 \ n\ により \ x=a+b\sqrt{n}\ と表されるとする。このとき、$
$\quad x^2+px+q=0 \ \ が成り立つような有理数 \ p,\ q\ を求めよ。また、そのような有理数 \ p,\ q\ の組はただ一つ$
$\quad に限ることを示せ。$
$(2)\ \ x\ は無理数であり、有理数 \ a,\ b\ および正の整数 \ n\ により \ x=a+b\sqrt[3]{n}\ と表されるとする。このとき、$
$\quad x^3+px^2+qx+r=0 \ \ が成り立つような有理数 \ p,\ q,\ r\ を求めよ。また、そのような有理数 \ p,\ q,\ r\ の組$
$\quad はただ一つに限ることを示せ。$
$はじめに必要な補助定理を証明します。$
$補助定理\ 1$
$a,\ b\ は有理数、\sqrt{n}\ は無理数のとき \qquad a+b\sqrt{n}=0 \ \ ならば \ \ a=b=0$
$(証明)$
$b \ne 0 \ \ とすると \ \ \sqrt{n}=-\dfrac{a}{b}$
$左辺は無理数、右辺は有理数だからこれは矛盾する。$
$よって \ \ b=0 \quad このとき \quad a+0 \times \sqrt{n}=0 \ \ より \ \ a=0$
$一般に\ \ a,\ b\ は有理数、\alpha \ は無理数のとき$
$a+b\alpha =0 \ \ ならば \ \ a=b=0$
$補助定理 \ 2-1$
$\sqrt[3]{n}\ \ が無理数ならば、\sqrt[3]{n^2}\ \ も無理数である。$
$(証明)$
$背理法で示す。$
$\sqrt[3]{n^2}\ \ が有理数とすると、\sqrt[3]{n^2}=\dfrac{e}{d}\ \ (d,\ e\ は互いに素な有理数)\ \ とおける。$
$n^2=\dfrac{e^3}{d^3} \qquad \therefore e^3=n^2d^3$
$d,\ e\ は互いに素だから \ \ d^3,\ e^3\ も互いに素である。$
$したがって、e^3 \ は \ n^2 \ を因数にもつから、e\ は \ n\ を因数にもつ。$
$e=kn \ \ (k\ は整数)\ \ とおくと\quad (kn)^3=n^2d^3 \qquad d^3=k^3n$
$d^3 \ は \ n\ を因数にもつから \ d\ は \ n\ を因数にもつ$
$すると \ \ d,\ e\ はともに \ n\ を因数にもつことになり、互いに素であることに矛盾する。$
$よって、\sqrt[3]{n^2}\ は有理数でない。$
$補助定理 \ 2-2$
$\sqrt[3]{n^2} \ne k \sqrt[3]{n}\ \ (k\ は有理数)$
$(証明)$
$\sqrt[3]{n^2} =k \sqrt[3]{n} \ \ (k\ は有理数)\ \ とすると$
$\sqrt[3]{n} \times \sqrt[3]{n} =k\sqrt[3]{n}$
$k=\sqrt[3]{n} $
$左辺は有理数、右辺は無理数だから、これは矛盾する。$
$よって、\sqrt[3]{n^2} \ne k \sqrt[3]{n}\ \ (k\ は有理数)$
$補助定理 \ 2-3$
$a,\ b,\ c\ は有理数、a\sqrt[3]{n}+b\sqrt[3]{n^2}=0 \ \ ならば \ \ a=b=0$
$(証明)$
$両辺を\ \sqrt[3]{n}\ で割って$
$a+b\sqrt[3]{n}=0 $
$補助定理 \ 1\ より \ \ a=b=0$
$補助定理 \ 2-4$
$a,\ b,\ c\ は有理数、a+b\sqrt[3]{n}+c\sqrt[3]{n^2}=0\ \ ならば \ \ a=b=c=0$
$(証明)$
$a=-(b\sqrt[3]{n}+c\sqrt[3]{n^2})$
$右辺は、bまたは\ c\ が\ 0\ でないならば、補助定理 \ 2-3\ の対偶をとって$
$b\sqrt[3]{n}+c\sqrt[3]{n^2} \ne 0$
$右辺は無理数、左辺は有理数だからこれは矛盾$
$よって \quad b=c=0 \ \ したがって \quad a=0$
$これらの補助定理を用いて本題を証明する。$
(1)
$x=a+b\sqrt{n} \ は無理数だから \ \ b \ne 0 \ \ かつ \ n\ は平方数でない。よって \ \ \sqrt{n} \ は無理数$
$x^2+px+q=0 \ \ に代入して$
$(a+b\sqrt{n})^2+p(a+b\sqrt{n})+q=0$
$(a^2+nb^2+pa+q)+(2ab+pb)\sqrt{n}=0$
$a^2+nb^2+pa+q, \ \ 2ab+pb \ \ は有理数だから補助定理 \ 1より$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} 2ab+pb=0 \hspace{9em}①\\ a^2+nb^2+pa+q=0 \hspace{5em}②\\ \end{array} \right. \] $①より\quad b(2a+p)=0$
$b \ne 0 \ \ だから \ \ 2a+p=0 \qquad \therefore p=-2a$
$②に代入して$
$a^2+nb^2-2a^2+q=0 \qquad \therefore q=a^2-nb^2$
$p,\ q\ \ の一意性の証明$
$他に、有理数 \ p',\ q'\ \ があるとすると$
$x^2+px+q=0,\quad x^2+p'x+q'=0\ \ だから辺々引いて$
$(p-p')x+q-q'=0$
$q-q'=-(p-p')x$
$左辺は有理数、右辺は無理数だから$
$p-p'=0 \quad このとき \quad q-q'=0$
$したがって \quad p'=p,\ \ q'=q $
$よって \quad x^2+px+q=0 \ \ が成り立つような有理数 \ p,\ q\ の組はただ一つに限る。$
(2)
$x=a+b\sqrt[3]{n} \ は無理数だから \ \ b \ne 0 かつ \ \ n\ は立方数でない。よって \ \ \sqrt[3]{n}\ は無理数$
$補助定理 \ 2-1\ より \ \ \sqrt[3]{n^2}\ も無理数$
$x^3+px^2+qx+r=0 \ \ に代入して$
$(a+b\sqrt[3]{n})^3+p(a+b\sqrt[3]{n})^2+q(a+b\sqrt[3]{n})+r=0$
$(a^3+nb^3+pa^2+qa+r)+(3a^2b+2pab+qb)\sqrt[3]{n}+(3ab^2+pb^2)\sqrt[3]{n^2}=0$
$a^3+nb^3+pa^2+qa+r, \ \ 3a^2b+2pab+qb,\ \ 3ab^2+pb^2 \ \ は有理数だから補助定理 \ 2-4\ より$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} a^3+nb^3+pa^2+qa+r=0 \hspace{5em}①\\ 3a^2b+2pab+qb=0 \hspace{8em}②\\ 3ab^2+pb^2=0 \hspace{11em}③\\ \end{array} \right. \] $③より \quad b^2(3a+p)=0$
$b \ne 0 \ \ だから \quad 3a+p=0 \qquad \therefore \ \ p=-3a$
$②に代入して$
$qb=-3a^2b-2(-3a)ab=3a^2b \qquad \therefore q=3a^2$
$①に代入して$
$r=-a^3-nb^3-pa^2-qa=-a^3-nb^3-(-3a)a^2-(3a^2)a=-a^3-nb^3$
$p,\ q ,\ r\ の一意性の証明$
$他に、有理数 \ p',\ q',\ r'\ があるとすると$
$x^3+px^2+qx+r=0,\ \ x^3+p'x^2+q'x+r'=0 \ \ だから辺々引いて$
$(p-p')x^2+(q-q')x+(r-r')=0$
$r-r'=-(p-p')x^2-(q-q')x$
$左辺は有理数、右辺は無理数だから$
$p-p'=0,\ \ q-q'=0 \quad このとき \ \ r-r'=0$
$したがって \quad p'=p,\ \ q'=q,\ \ r'=r$
$よって \quad x^3+px^2+qx+r=0 \ \ が成り立つような有理数 \ p,\ q,r\ の組はただ一つに限る。$
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