東京科学(理系) 2025年　問題3


$0 < p < 1\ \ とする。表が出る確率が \ p,裏が出る確率が \ 1-p\ である \ 1\ 枚のコインを使って次のゲームを行う。$
$・ゲームの開始段階で点数は \ 0\ 点。$
$・コインを投げ続け、表が出るごとに \ 1\ 点加算し、裏が出たときは点数はそのまま。$
$・2\ 回続けて裏が出たらゲームは終了。$
$0\ 以上の整数 \ n\ に対し、ゲームが終わったときに \ n\ 点となっている確率を \ Q_n \ とする。$
$(1)\ \ Q_1,\ \ Q_2\ を \ p\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ Q_n \ を \ n\ と \ p\ を用いて表せ。$
\[(3)\ \ 0 < x < 1 \ \ を満たす実数 \ x\ に対して次式が成り立つことを示せ。\quad \dfrac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n \] \[\quad 必要ならば \quad 0 < x < 1 \ \ のとき \quad \lim_{n \rightarrow \infty} nx^n=0\ \ であることを証明なしで使ってもよい。\] \[(4)\ \ 無限級数 \quad \sum_{n=0}^{\infty} nQ_n\ \ を \ p\ を用いて表せ。\]


(1)


$コインを \ 1\ 回投げて、表が出る事象を \ H,裏が出る事象を \ T\ とすると$

(i)$\ \ 表が \ 1\ 回出る事象 \ U_1\ は　HTT,\ \ THTT\ \ の \ 2\ 通りあり、互いに排反だから$

$\quad Q_1=p(1-p)^2+p(1-p)^3=p(1-p)^2(1+(1-p))=p(2-p)(1-p)^2$

(ii)$\ \ 表が \ 2\ 回出る事象 \ U_2\ は　表が \ 1\ 回出る \ U_1\ の \ 2\ つの事象\ \ HTT,\ \ THTT\ \ の前に(左側のこと)それぞれ$
$\quad \ 1\ 点分の \ H,あるいは \ TH\ が付いた, (HHTT,\ THHTT),\ \ (HTHTT,\ THTHTT) \ \ の \ 4\ 通りがある。$

$それぞれ \ 2\ つづつまとめて$
\begin{eqnarray*} Q_2 &=&\big(p+p(1-p)\big)p(1-p)^2+\big(p+p(1-p)\big)p(1-p)^3\\ \\ &=&\big(p+p(1-p)\big)\big(p(1-p)^2+p(1-p)^3\big)\\ \\ &=&\big(p+p(1-p)\big)Q_1\\ \\ &=&p(2-p) \times p(2-p)(1-p)^2\\ \\ &=&p^2(2-p)^2(1-p)^2 \end{eqnarray*}

(2)


$\ \ 表が \ (n+1)\ 回出る事象 \ U_{n+1}\ は　表が \ n\ 回出る事象 \ U_n\ の \ 2^n\ 個の各事象の前に(左側のこと)それぞれ$

$1\ 点分の \ H,あるいは \ TH\ が付けばよいから(1)の$(ii)$ のように考えて$

$Q_{n+1}=\big(p+p(1-p)\big)Q_n=p(2-p) Q_n$

$数列 \ \{Q_n\} \ は公比 \ \ p(2-p)\ \ の等比数列だから$

$Q_n=Q_1 \times \{p(2-p)\}^{n-1}=p(2-p)(1-p)^2 \times \{p(2-p)\}^{n-1}=p^n(2-p)^n(1-p)^2$


(3)


\[S_n=\sum_{k=0}^n(k+1)x^k=1+2x+3x^2+ \cdots + nx^{n-1}+(n+1)x^n\]
$xS_n=x+2x^2+\cdots +nx^n+(n+1)x^{n+1}$

$辺々引いて$

$(1-x)S_n=1+x+x^2+ \cdots +x^n-(n+1)x^{n+1}=\dfrac{1-x^{n+1}}{1-x} -(n+1)x^{n+1}$

$S_n=\dfrac{1-x^{n+1}}{(1-x)^2} -\dfrac{(n+1)x^{n+1}}{1-x}$

$0 < x < 1 \ \ より \quad n \longrightarrow \infty \ \ のとき \ \ x^{n+1} ,\ \ (n+1)x^{n+1} \ \ \longrightarrow 0 \ \ だから \quad S_n \longrightarrow \dfrac{1}{(1-x)^2}$

\[よって　\quad \dfrac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n \]

(4)

　

\[T_n=\sum_{k=0}^n kQ_k\ \ とおくと\] \[T_n=\sum_{k=0}^n kp^k(2-p)^k(1-p)^2=(1-p)^2 \sum_{k=0}^n k\big(p(2-p)\big)^k\] $r=p(2-p)=-(p-1)^2+1 \ \ のグラフは右図のとおりで$

$0 < p < 1 \ \ のとき \ \ 0 < r < 1$

\[T_n=(1-p)^2 \sum_{k=0}^n kr^k=(1-p)^2 \sum_{k=0}^n \big((k+1)r^k-r^k\big)=(1-p)^2 \big(\sum_{k=0}^n (k+1)r^k - \sum_{k=0}^n r^k\big)\] $したがって$
\begin{eqnarray*} & &\sum_{n=0}^{\infty} nQ_n\\ \\ &=&(1-p)^2 \big(\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)r^n - \sum_{n=0}^{\infty} r^n\big)\\ \\ &=&(1-p)^2 \big(\dfrac{1}{(1-r)^2} - \dfrac{1}{1-r}\big) \hspace{5em}(第 \ 1\ 項は(3)を用いる)\\ \\ &=&(1-p)^2 \times \dfrac{1-(1-r)}{(1-r)^2}\\ \\ &=&(1-p)^2 \times \dfrac{r}{(1-r)^2}\\ \\ &=&(1-p)^2 \times \dfrac{p(2-p)}{(1-p(2-p))^2}\\ \\ &=&(1-p)^2 \times \dfrac{p(2-p)}{(1-p)^4}\\ \\ &=&\dfrac{p(2-p)}{(1-p)^2}\\ \end{eqnarray*}

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