b|\vec{OB}|

東北大学(理系) 2026年　問題6


$A,\ B,\ C,\ D,\ O,\ P,\ Q\ は空間内の \ 7\ 点である。そのうち \ 6\ 点 \ A,\ B,\ C,\ D,\ O,\ P\ は相異なり、5\ 点 \ A,\ B,\ C.$
$D,\ P\ はある球面 \ S\ 上にある。また、点 \ Q\ は直線 \ CD\ 上にある。さらに、ある実数 \ a,\ b\ に対し、次が成り立$
$つとする。$
$\hspace{5em} \vec{OP}=a\vec{OA},\quad \vec{OQ}=b\vec{OB},\quad a|\vec{OA}|^2=b|\vec{OB}|^2$
$以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 点\ Q\ は \ 3\ 点 \ A,\ B,\ P\ が定める平面 \ \alpha \ 上にあることを示せ。$
$(2)\ \ 点 \ Q\ は点 \ C\ または点 \ D\ に等しいことを示せ。$


(1)

　

$\vec{OP}=a\vec{OA}\ \ より、3\ 点 \ O,\ A,\ P\ は一直線上にあるから$

$点\ O\ は \ 3\ 点 \ A,\ B,\ P\ が定める平面 \ \alpha \ 上にある。$

$したがって、\alpha \ 上の \ 2\ 点を通る直線 \ OB\ も \ \alpha \ 上にある。$

$\vec{OQ}=b\vec{OB}より、3\ 点 \ O,\ B,\ Q\ は一直線上にあるから$

$点\ Q\ は平面 \ \alpha \ 上にある。$


(2)


$球面 \ S\ と平面 \ \alpha \ の交線は円である。$

$3\ 点 \ A,\ B,\ P\ はこれが定める平面 \ \alpha \ 上にあり、かつ球面 \ S\ 上にあるから、1つの円周上にある。$

$\vec{OP}=a\vec{OA} \ \ より \ \ OP=a \times OA,\qquad \vec{OQ}=b\vec{OB}\ \ より \ \ OQ= b \times OB$

$a|\vec{OA}|^2=b|\vec{OB}|^2 \ \ より \quad a \times OA^2=b \times OB^2$

\begin{eqnarray*} & &OA \times OP - OB \times OQ\\ \\ &=&OA \times (a \times OA) - OB \times (b \times OB)\\ \\ &=&a \times OA^2 - b \times OB^2\\ \\ &=&0 \end{eqnarray*} $よって \quad OA \times OP = OB \times OQ$

$方べきの定理の逆より、4\ 点 \ A,\ P,\ B,\ Q\ は \ 1\ つの円周上にある。$

$ここで、3\ 点 \ C,\ D,\ Q\ がすべて異なるとすると$

$3\ 点は一直線上にあり、かつ球面 \ S\ 上にもあるからこれは不合理である。$

$したがって、点 \ Q\ は点 \ C\ または点 \ D\ に等しい。$


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