東北大学(理系) 2026年　問題4


$座標平面において、x 座標も \ y\ 座標も整数である点全体の集合上を移動する点P\ がある。時刻 \ 0\ に点Pは$
$原点 \ O\ にある。0\ 以上の整数 \ t\ に対し、時刻 \ t\ に点Pが点(m,\ n)\ にあるとき、時刻 \ t+1\ での点Pの位置は$
$4\ 点 \ (m+1,\ n),\ (m-1,\ n),\ (m,\ n+1),\ (m,\ n-1)\ \ のいずれかであり、また、どの位置にある確率も \ \dfrac{1}{4}で$
$ある。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 時刻 \ 8\ に点P\ が\ 点(4,\ 0)にある確率を求めよ。$
$(2)\ \ 時刻 \ 8\ に点P\ が双曲線 \ \ x^2-y^2=16\ \ 上にある確率を求めよ。$
$(3)\ \ 時刻 \ 8\ に点P\ が双曲線 \ \ x^2-y^2=16\ \ 上にあるとき、時刻 \ 1,\ 時刻\ 2,\ \cdots ,\ 時刻 \ 7\ のいずれかに点P\ が$
$\quad 点(4,\ 2)\ にある条件付き確率を求めよ。$


(1)


$時刻 \ t\ に点Pが点(m,\ n)\ にあるとき、時刻 \ t+1\ で点 \ (m+1,\ n),\ (m-1,\ n),\ (m,\ n+1),\ (m,\ n-1)\ \ の$

$それぞれに移動することを単に、R,\ L,\ U,\ D\ と表すことにする。$

$時刻 \ 8\ に点P\ が\ 点(4,\ 0)\ にある根元事象の数は$

(i)$\ \ (R,\ R,\ R,\ R,\ U,\ U,\ D,\ D)\ で表される同じものを含む順列が一つの根元事象だから$

$\quad \dfrac{8!}{4!2!2!}=\dfrac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{2 \times 2}=420 \ \ 通り$

(ii)$\ \ (R,\ R,\ R,\ R,\ R,\ L,\ U,\ D)\ で表される順列は$

$\quad \dfrac{8!}{5!}=8 \times 7 \times 6 =336\ \ 通り$

(iii)$\ \ (R,\ R,\ R,\ R,\ R,\ R,\ L,\ L)\ で表される順列は$

$\quad \dfrac{8!}{6!2!}=\dfrac{8 \times 7 }{2}=28\ \ 通り$

$以上全部で、420+336+28=784 \ \ 通り$

$個々の根元事象が起こる確率は、\dfrac{1}{4^8} \ \ だから$

$時刻 \ 8\ に点P\ が\ 点(4,\ 0)にある確率 \ p\ は \quad p=\dfrac{784}{4^8}=\dfrac{49}{4096}$


(2)

　

$x^2-y^2=16 \ \ 上の \ x\ 座標も \ y\ 座標も整数である点(格子点といいます)は$

$x \geqq 0, \ \ y \geqq 0 \ \ で考えると \quad (x-y)(x+y)=16\ \ より$

(i)$ \ \ x-y=1, \quad x+y=16 \ \ のとき \quad 2x=17\ \ だから不適$

(ii)$ \ \ x-y=2, \quad x+y=8 \ \ のとき \quad 2x=10 \ \ だから \ \ x=5 ,\ \ y=3$

(iii)$ \ \ x-y=4, \quad x+y=4 \ \ のとき \quad 2x=4 \ \ だから \ \ x=4 , \ \ y=0$

$時刻 \ 8\ に点P\ が$

$点(4,\ 0)\ にある根元事象の数は(1)より \quad 784\ \ 通り$

$点(5,\ 3)\ にある根元事象の数は\ \ (R,\ R,\ R,\ R,\ R,\ U,\ U,\ U)\ で表される同じものを含む順列だから$

$\dfrac{8!}{5!3!}=\dfrac{8 \times 7 \times 6 }{3 \times 2}=56 \ \ 通り$

$対称性から時刻 \ 8\ に点P\ は \ \ (-4,\ 0),\ \ (5,\ -3),\ \ (-5,\ 3),\ \ (-5,\ -3)\ にもあるから$

$全部で \quad 784 \times 2 + 56 \times 4=7 \times 4^4 =1792 \ \ 通り$

$よって、時刻 \ 8\ に点P\ が双曲線 \ \ x^2-y^2=16\ \ 上にある確率 \ p\ は$

$p=\dfrac{7 \times 4^4}{4^8}=\dfrac{7}{4^4}=\dfrac{7}{256}$


(3)


$A:時刻 \ 8\ に点P\ が双曲線 \ \ x^2-y^2=16\ \ 上にある事象$

$B:時刻 \ 1,\ 時刻\ 2,\ \cdots ,\ 時刻 \ 7\ のいずれかに点P\ が点(4,\ 2)\ にある事象$

$とすると$

$(2) より \quad P(A)=\dfrac{1792}{4^8}$

　

$点P\ が点(4,\ 2)\ にあるのは、時刻が少なくとも \ 6\ 以上必要であり、$

$移動量が偶数であることから、時刻は \ 6\ である。$

$したがって事象 \ B\ の根元事象の数は\ \ (R,\ R,\ R,\ R,\ U,\ U)\ で表される$

$順列だから \quad \dfrac{6!}{4! \times 2!}=15 \ \ 通り \qquad P(B)=\dfrac{15}{4^6}$

$事象 \ \ B \cap A \ \ は　点(4,\ 2)\ から時刻 \ 2\ で双曲線 \ \ x^2-y^2=16\ \ 上の点に$

$移動する事象だから$

(i)$\ \ 点(5,\ 3)\ に移動する確率は、根元事象が \ (R,\ U),\ \ (U,\ R)\ \ の \ 2\ つあることから \quad \dfrac{2}{4^2}$
(ii)$\ \ 点(4,\ 0)\ に移動する確率は、根元事象が \ (D,\ D)\ の \ 1\ つあることから \quad \dfrac{1}{4^2}$

$したがって \quad P(B \cap A)=\dfrac{15}{4^6} \times \big(\dfrac{2}{4^2}+ \dfrac{1}{4^2}\big)=\dfrac{15 \times 3}{4^8}$

$時刻 \ 8\ に点P\ が双曲線 \ \ x^2-y^2=16\ \ 上にあるとき、時刻 \ 6\ で点P\ が \ 点(4,\ 2)\ にある条件付き確率は$

$P_A(B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}=\dfrac{P(B \cap A)}{P(A)}=\dfrac{15\times 3}{4^8} \times \dfrac{4^8}{1792}=\dfrac{45}{1792}$


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