東北大学(理系) 2026年　問題3


$a,\ b,\ c,\ d\ は実数とし、実数全体を定義域とする関数$
\[ \qquad f(x)= \left\{ \begin{array}{l} 8x^3-6x^2+2 \hspace{10em}(|x| \leqq 1 のとき)\\ 3x^4+ax^3+bx^2+cx+d \hspace{5em}(|x| >1 のとき)\\ \end{array} \right. \] $はすべての \ x\ の値で微分可能であるとする。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a,\ b,\ c,\ d\ の値を求めよ。$
$(2)\ \ 関数 \ f(x)\ の最小値と、それを与える \ x\ の値を求めよ。$


(1)


$g(x)=8x^3-6x^2+2,\quad h(x)=3x^4+ax^3+bx^2+cx+d \ \ とおく。$

$f(x) はすべての \ x\ の値で微分可能であるから、x=\pm 1\ \ で連続である。$

$h(1)=g(1)\ \ より \quad 3+a+b+c+d=8-6+2 \qquad a+b+c+d=1 \hspace{8em} ①$

$h(-1)=g(-1)\ \ より \quad 3-a+b-c+d=-8-6+2 \qquad -a+b-c+d=-15 \hspace{3em} ②$

$f(x)\ は \ x=\pm 1\ で微分可能であるから$

$g'(x)=24x^2-12x,\quad h'(x)=12x^3+3ax^2+2bx+c $

$h'(1)=g'(1)\ \ より \quad 12+3a+2b+c=24-12 \qquad 3a+2b+c=0 \hspace{6em} ③$

$h'(-1)=g'(-1)\ \ より \quad -12+3a-2b+c=24+12 \qquad 3a-2b+c=48 \hspace{3em} ④$

$①-②より\quad 2a+2c=16 \qquad a+c=8\hspace{3.5em} ⑤$

$③+④より\quad 6a+2c=48 \qquad 3a+c=24\hspace{3em} ⑥$

$⑥-⑤より\quad 2a=16 \qquad a=8$

$⑤に代入して \quad c=0$

$③に代入して \quad 24+2b=0 \qquad b=-12$

$①に代入して \quad 8-12+d=1 \qquad d=5$

$以上より \quad a=8,\ \ b=-12,\ \ c=0,\ \ d=5$


(2)


$g(x)=8x^3-6x^2+2 \hspace{8em} (|x| \leqq 1 \ \ のとき)$

$h(x)=3x^4+8x^3-12x^2+5 \hspace{5em}(|x| > 1 \ \ のとき)$

$g'(x)=24x^2-12x=12x(2x-1)$

$g'(x)=0 \ \ より \quad x=0,\ \ \dfrac{1}{2}$

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x& \cdots & 0 & \cdots & \dfrac{1}{2} & \cdots \\ \hline g'(x)& + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline g(x)& \nearrow & 極大 & \searrow & 極小& \nearrow & \\ \end{array} \]
$g(x)\ は \ \ x=0 で極大、極大値は \ \ g(0)=2,$

$x=\cfrac{1}{2}\ で極小、極小値は \ \ g(\dfrac{1}{2})=8\big(\dfrac{1}{2}\big)^3-6\big(\dfrac{1}{2}\big)^2+2=\dfrac{3}{2}$

$g(-1)=-8-6+2=-12,\quad g(1)=8-6+2=4$

　

$h(x)=3x^4+8x^3-12x^2+5 \ \ は$

$h'(x)=12x^3+24x^2-24x=12x(x^2+2x-2)$

$h'(x)=0 \ \ より \ \ x=0,\ \ -1\pm \sqrt{3}$

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x& \cdots & -1-\sqrt{3} & \cdots & 0 & \cdots & -1+\sqrt{3} & \cdots \\ \hline h'(x)& - & 0 & + & 0 & - & 0 & +\\ \hline h(x)& \searrow & 極小 & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小& \nearrow & \\ \end{array} \]
$h(x)\ は \ \ x=0 で極大、極大値は \ \ h(0)=5$

$x=-1 \pm \sqrt{3} \ で極小、極小値は \ \ h(x)\ を \ \ x^2+2x-2 \ \ で割って商と余りを求めると$

$h(x)=(x-2+2x-2)(3x^2+2x-10)+24x-15 \ \ だから$

$h(-1 \pm \sqrt{3})=24(-1 \pm \sqrt{3})-15=-39 \pm 24\sqrt{3}$

$y=f(x) \ \ のグラフは右図のとおりで、$

$f(x)\ は \ \ x=-1-\sqrt{3}\ \ のとき、最小値 \ \ -39-24\sqrt{3}\ \ をとる。$


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