東北大学(理系) 2026年 問題2
$以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a^2+2b^2=c^2\ \ を満たす正の整数の組 \ (a,\ b,\ c)\ を\ 1\ つ求めよ。なお、解答は答えのみでよい。$
$(2)\ \ a^2+2b^2=c^2 \ \ を満たす正の整数の組 \ (a,\ b,\ c)\ は無数に存在することを示せ。$
$(3)\ \ 正の整数の組 \ (a,\ b,\ c)\ は\ \ a^2+2b^2=c^2 \ \ を満たすとする。このとき、、a+c \ および \ b\ は偶数である$
$\quad ことを示せ。さらに、もし\ a\ と \ c\ が偶数ならば \ b\ は \ 4\ の倍数であることを示せ。$
(1)
$(a,\ b,\ c)=(1,\ 2,\ 3)$
(2)
$a=k,\ b=2k,\ c=3k \ \ (k\ は正の整数)\ \ とおくと$
$a^2+2b^2=k^2+2(2k)^2=9k^2,\qquad c^2=(3k)^2=9k^2 $
$よって \quad a^2+2b^2=c^2 \ \ が成りたつから \ \ (k,\ 2k,\ 3k)も解である。$
$k\ は任意の正の整数だから解は無数に存在する。$
(3)
$(予備定理)$
$自然数 \ a\ について、a^2\ が \ 2\ の倍数ならば \ a\ は \ 2\ の倍数である。$
$(証明)$
$a\ が \ 2\ の倍数でないとすると、a=2k + 1 \ \ (k\ は自然数)\ \ とおける。$
$このとき、a^2=(2k + 1)^2=2(2k^2 + 2k)+1 \ \ だから \ a^2\ は \ 2\ の倍数でない。$
$これは \ a^2\ が \ 2\ の倍数であることに矛盾するから、a\ は \ 2\ の倍数である。$
$a^2+2b^2=c^2 \ \ より \quad 2b^2=c^2-a^2=(c+a)(c-a)$
$よって、c+a,\ \ c-a\ \ は \ 2b^2\ の約数$
(i)$\ \ c+a \ が \ 2\ の倍数ならば、c+a=2\ell \ \ (\ell \ は正の整数) \ \ とおけるから$
$\quad c=2\ell -a \qquad c-a=(2\ell -a)-a=2(\ell - a)$
$\quad このとき \quad 2b^2=2\ell \times 2(\ell -a)=4\ell (\ell -a)$
$\quad b^2=2\ell (\ell -a)$
$\quad 補助定理から \ b\ は \ 2\ の倍数である。$
(ii)$\ \ c-a \ が \ 2\ の倍数ならば、c-a=2m\ \ (m\ は正の整数)\ \ とおけるから$
$\quad c=2m + a \qquad c+a=(2m+a)+a=2(m+ a)$
$\quad このとき \quad 2b^2=2(m+a) \times 2m=4m (m+a)$
$\quad b^2=2m(m+a)$
$\quad 補助定理から \ b\ は \ 2\ の倍数である。$
(i),(ii)$\ \ より \ \ a+c\ \ および \ b\ は偶数である。$
$次に、a\ と \ c\ が偶数ならば,a=2p,\ \ c=2q\ \ (p,\ q\ は正の整数)\ \ とおける。$
$このとき、2b^2=c^2-a^2=(2q)^2-(2p)^2=4(q^2-p^2)$
$b^2=2(q^2-p^2)=2(q+p)(q-p)$
$補助定理から \ \ b\ は \ 2\ の倍数だから \ \ b=2r \ \ (r\ は正の整数) \ \ とおくと$
$(2r)^2=2(q+p)(q-p)$
$2r^2=(q+p)(q-p)$
(iii)$\ \ q+p \ が \ 2\ の倍数のとき$
$\quad q+p=2s \ \ とおくと \quad p=2s-q$
$\quad q-p=q-(2s-q)=2(q-s)$
$\quad q-p\ は \ 2\ の倍数$
(iv)$\ \ q-p \ が \ 2\ の倍数のとき$
$\quad q-p=2t\ \ とおくと \quad q=2t+p$
$\quad q+p=(2t+p)+p=2(t+p) \qquad q+p \ は \ 2\ の倍数$
(iii),(iv)$\ \ から \ \ (q+p)(q-p)\ \ は \ 4\ の倍数だから \ \ r^2\ は \ 2\ の倍数$
$したがって \ \ r\ は \ 2\ の倍数だから \ \ b=2r \ は \ 4\ の倍数である。$
$(研究)$
$(2)より \quad a^2+2b^2=c^2\ \ の解は \ \ (k,\ 2k,\ 3k)\ \ であるから$
$a+c=a+3k=4k,\ \ b=2k \ \ より \ \ a+c,\ \ b\ は偶数である。$
$c=3k \ が偶数ならば \ \ k=2k'\ \ とおけるから \ \ b=2k=4k' \ \ となって \ b\ は \ 4\ の倍数である。$
$この解答は一見正しいように見えるが、不十分である。$
$なぜならば、a^2+2b^2=c^2 \ \ の解は \ \ (k,\ 2k,\ 3k)\ \ 以外に別系統の解があるからである。$
$例えば、(a,\ b,\ c)=(7,\ 4,\ 9)\ は \ (k,\ 2k,\ 3k)\ では表されない解である。$
$そこで、この別系統の一般解を求めます。$
$2b^2=c^2-a^2=(c+a)(c-a)$
$2b^2 \ の約数が、c+a,\ \ c-a \ \ (c+a > c-a) \ \ だから次の \ 4\ つの場合がある。$
(i)$\ \ c+a=2,\quad c-a=b^2 \ \ のとき$
$\quad c+a=2 \ \ より \ \ c=a=1 \quad このとき \ \ b^2=0 \ \ となり不適$
(ii)$\ \ c+a=b^2,\quad c-a=2 \ \ のとき$
$\quad 辺々加えて \quad 2c=b^2+2 \quad b^2=2(c-1)$
$\quad 補助定理から \ \ b\ は \ 2\ の倍数 \quad b=2k\ \ (k\ は正の整数) \ \ とおくと$
$\quad 2c=(2k)^2+2 \quad c=2k^2+1$
$\quad a=c-2=(2k^2+1)-2=2k^2-1$
$\quad (a,\ b,\ c)=(2k^2-1,\ 2k,\ 2k^2+1)$
$\quad とくに \ \ k=2\ \ とおくと \ \ (7,\ 4,\ 9)\ \ が得られる。$
(iii)$\ \ c+a=2b,\quad c-a=b \ \ のとき$
$\quad 辺々加えて \quad 2c=3b \quad b=2k\ \ (k\ は正の整数)\ \ とおくと \quad c=3k$
$\quad a=2b-c=2(2k)-3k=k$
$\quad (a,\ b,\ c)=(k,\ 2k,\ 3k)$
(iv)$\ \ c+a=2b^2,\quad c-a=1 \ \ のとき$
$\quad 辺々加えて \quad 2c=2b^2+1 \quad 2(c-b^2)=1 \quad 左辺は偶数、右辺は奇数だから不適$
$以上より \quad (a,\ b,\ c)=(k,\ 2k,\ 3k),\ \ (2k^2-1,\ 2k,\ 2k^2+1)$
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