東北大学(理系) 2026年　問題1


$座標平面上の放物線 \ y=x^2\ を \ C\ とする。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 正の実数 \ u\ に対し、放物線 \ C\ の接線で点(u,\ u-1)\ を通るものがちょうど \ 2\ 本あることを示せ。$
$(2)\ \ 正の実数 \ u\ に対し、放物線 \ C\ の相異なる \ 2\ 本の接線で点(u,\ u-1)\ を通るものを \ \ell_1,\ \ell_2 \ とする。$
$\quad 放物線 \ C\ と直線 \ \ell_1 \ の接点を \ P_1\ とし、放物線 \ C\ と直線 \ \ell_2\ の接点を \ P_2\ とする。このとき、線分 \ P_1P_2\ の$
$\quad 垂直二等分線 \ m\ は \ y\ 軸と交わることを示せ。まら、u\ が正の実数全体を動くとき、直線 \ m\ と \ y\ 軸の交点の$
$\quad \ y\ 座標 \ q(u)\ の最小値と、それを与える \ u\ の値を求めよ。$


(1)

　

$A(u,\ u-1)\ \ とおくと$

$u^2-(u-1)=u^2-u+1=(u-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}>0 $

$u^2 > u-1 \ \ だから点\ A\ は放物線 \ C\ の下側にある。$

$y=x^2 \ 上の接点 \ P(p,\ p^2)\ における接線は$

$y=2p(x-p)+p^2 \ \ より \quad y=2px-p^2$

$これが \ A(u,\ u-1)\ を通るから$

$u-1=2pu-p^2$

$p^2-2up+u-1=0$

$p\ の二次方程式とみて、判別式をとると$

$\dfrac{D}{4}=(-u)^2-(u-1)=u^2-u+1=(u-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}>0 $

$よって \quad p\ は異なる \ 2\ つの実数解をもつから$

$放物線 \ C\ の接線で点(u,\ u-1)\ を通るものがちょうど \ 2\ 本ある。$


(2)


$(1)より \ \ 接点 \ P(p,\ p^2)\ の \ x\ 座標は \ \ p^2-2up+u-1=0\ \ の \ 2\ つの解だから$

$P_1(p_1,\ p_1^2),\ \ P_2(p_2,\ p_2^2)\ \ とおくと、解と係数の関係より$

$p_1+p_2=2u,\quad p_1p_2=u-1$

$線分 \ P_1P_2\ \ の中点 \ M(a,\ b)\ は$

$a=\dfrac{1}{2}(p_1+p_2)=u$

$b=\dfrac{1}{2}(p_1^2+p_2^2)=\dfrac{1}{2}\big((p_1+p_2)^2-2p_1p_2\big)=\dfrac{1}{2}\big(4u^2-2(u-1)\big)=2u^2-u+1$

$よって \ \ M(u,\ 2u^2-u+1)$

　

$線分 \ P_1P_2\ の傾きは \quad \dfrac{p_2^2-p_1^2}{p_2-p_1}=p_2+p_1=2u$

$よって \ \ その垂直二等分線の傾きは \quad -\dfrac{1}{2u}$

$ゆえに、垂直二等分線 \ m\ は \quad y=-\dfrac{1}{2u}(x-u)+2u^2-u+1$

$m:y=-\dfrac{1}{2u}x+2u^2-u+\dfrac{3}{2}$

$u \ は正の実数だから \ m\ は \ y\ 軸に平行でない。$

$よって、垂直二等分線 \ m\ は \ y\ 軸と交わる。$

$直線 \ m\ と \ y\ 軸の交点の \ y\ 座標 \ q(u)\ は$

$q(u)=2u^2-u+\dfrac{3}{2}=2(u-\dfrac{1}{4})^2+\dfrac{11}{8}$

$q(u)\ は \ \ u=\dfrac{1}{4}\ \ のとき \ \ 最小値 \ \ \dfrac{11}{8}\ \ をとる。$


ページの先頭へ↑



メインメニュー　に戻る