東北大学(理系) 2025年 問題2
$正の実数からなる \ 2\ つの数列 \ \{x_n\},\ \ \{y_n\}\ \ を次のように定める。$
$\quad x_1=2,\quad y_1=\dfrac{1}{2},\quad x_{n+1}=(x_n)^5\cdot (y_n)^2,\quad y_{n+1}=x_n \cdot(y_n)^6$
$このとき、以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ k\ を実数とする。a_n=\log _2 x_n, \ \ b_n=\log _2 y_n \ \ とおく。このとき、数列 \ \ \{a_n+kb_n\} \ \ が等比数列になる$
$\quad ような \ k\ の値をすべて求めよ。$
$(2)\ \ 数列 \ \ \{x_n\}\ \ の一般項を求めよ。$
(1)
$a_{n+1}=\log _2 x_{n+1}=5\log _2 x_n + 2\log _2 y_n =5a_n + 2 b_n$
$b_{n+1}=\log _2 y_{n+1}=\log _2 x_n + 6\log _2 y_n =a_n + 6 b_n$
$このとき$
$a_{n+1}+kb_{n+1}=(5a_n + 2 b_n)+k(a_n + 6 b_n)=(5+k)a_n + (2+6k)b_n $
$数列 \ \ \{a_n+kb_n\} \ \ は等比数列だから \quad a_{n+1}+kb_{n+1}=r(a_n+kb_n) \ \ (r\ は実数)\ \ とおける。$
$係数を比べて$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} 5+k=r \hspace{6em}①\\ 2+6k=rk \hspace{5em}②\\ \end{array} \right. \] $①を②に代入して$
$2+6k=(5+k)k$
$k^2-k-2=0$
$(k+1)(k-2)=0$
$k=-1,\quad 2$
(2)
$a_1=\log _2x_1=\log_2 2=1,\quad b_1=\log _2 y_1=\log_2 \dfrac{1}{2}=-1$
$(1) より$
(i)$\ \ k=-1 \ \ のとき \ \ r=4 \ \ だから$
$\quad a_{n+1}-b_{n+1}=4(a_n-b_n) $
$\quad a_n-b_n=(a_1-b_1)4^{n-1}=2\cdot 4^{n-1} \hspace{5em}③$
(ii)$\ \ k=2 \ \ のとき \ \ r=7 \ \ だから$
$\quad a_{n+1}+2b_{n+1}=7(a_n+2b_n) $
$\quad a_n+2b_n=(a_1+2b_1)7^{n-1}=- 7^{n-1} \hspace{5em}④$
$③ \times 2 + ④\ \ より$
$3a_n=4^n-7^{n-1}$
$\therefore \ \ a_n=\dfrac{4^n-7^{n-1}}{3}$
$よって \quad x_n=2^{a_n}=2^{\scriptsize{\dfrac{4^n-7^{n-1}}{3}}}$
$(補充)$
$④ - ③ \ \ より$
$3b_n=-2\cdot 4^{n-1}-7^{n-1}$
$\therefore \ \ b_n=-\dfrac{2 \cdot 4^{n-1}+7^{n-1}}{3}$
$よって \quad y_n=2^{b_n}=2^{-\scriptsize{\dfrac{2 \cdot 4^{n-1}+7^{n-1}}{3}}}$
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