東北大学(理系) 2024年 問題2
$以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ t\ を \ t > 1 \ を満たす実数とする。正の実数 \ x\ が \ 2\ つの条件$
$\qquad (a) \ \ x > \cfrac{1}{\sqrt{t}-1} \qquad (b)\ \ x \geqq 2\log _t x $
$\quad をともに満たすとする。このとき、不等式 \quad x+1 > 2\log_t(x+1)\quad を示せ。$
$(2)\ \ n \leqq 2\log _2 n \ \ を満たす正の整数 \ n\ をすべて求めよ。$
(1)
$(a) \ \ x > \cfrac{1}{\sqrt{t}-1} \quad より$
$\quad t> 1 \quad だから \quad \sqrt{t}-1 > 0$
$\quad 分母を払って \quad x(\sqrt{t}-1) > 1 \qquad x\sqrt{t} > x+1 $
$\quad x+1 > 0 \quad だから両辺 \ 2\ 乗して \quad tx^2 > (x+1)^2 \hspace{5em}①$
$(b)\ \ x \geqq 2\log _t x \quad より$
\begin{eqnarray*} x+1 &\geqq & 1+2\log _t x\\ \\ &=&\log_t t+\log_t x^2\\ \\ &=&\log_t tx^2 \hspace{7em} (①を代入)\\ \\ &>&\log_t (x+1)^2 \hspace{5em} (t > 1 \ \ だから)\\ \\ &=&2\log_t(x+1) \end{eqnarray*}
(2)
$n \leqq 2\log _2 n \quad より \quad n \leqq \log _2 n^2 \qquad n\log_2 2\leqq \log_2 n^2 \quad だから$
$指数で表現すると \quad 2^n \leqq n^2$
$これを満たす正の整数 \ n\ を求めればよい。$
(i)$\ \ n=1 \ \ のとき \quad 2 \leqq 1^2 \quad は不適$
(ii)$\ \ n=2 \ \ のとき \quad 2^2 \leqq 2^2 \quad は適する$
(iii)$\ \ n=3 \ \ のとき \quad 2^3 \leqq 3^2 \quad は適する$
(iv)$\ \ n=4 \ \ のとき \quad 2^4 \leqq 4^2 \quad は適する$
(v)$\ \ n=5 \ \ のとき \quad 2^5 \leqq 5^2 \quad は不適$
(vi)$\ \ n=6,\ 7,\ 8, \ \cdots \ \ のとき $
$(1)の2つの条件で \ t=2\ とおく。$
$条件(a)は \quad x > \cfrac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$
$条件(b)は、指数で表現すると$
$x \geqq 2\log_2 x \qquad \log_2 2^x \geqq \log_2 x^2 \quad だから \quad 2^x \geqq x^2$
$(1)の結論も指数で表現すると \quad 2^{x+1} > (x+1)^2$
$正の実数 \ x\ を整数 \ n\ に置き換えると \quad x > \sqrt{2}+1 \quad より$
$n \geqq 3 \ \ のとき \quad 2^n \geqq n^2 \quad ならば \quad 2^{n+1} > (n+1)^2$
$したがって$
$n=5 \ \ のとき \quad 2^5 \geqq 5^2 \quad だから \quad 2^6 > 6^2 \quad がいえて、n=6\ \ のとき不適$
$これを繰り返して \quad n \geqq 5 \ \ のとき \quad 2^n > n^2 \quad がいえるので、 2^n \leqq n^2 \quad を満たす自然数 \ n\ はない。$
$以上より$
$2^n \leqq n^2 \quad すなわち \quad n \leqq 2\log _2 n \quad を満たす正の整数 \ n\ は \quad n=2,\ \ 3,\ \ 4$
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