東北大学(理系) 2018年 問題3
$整数 \ a,\ b\ は等式 \ \ 3^a-2^b=1 \ \cdots \ ①\ \ を満たしているとする。$
$(1)\ \ a,\ b\ はともに正となることを示せ。$
$(2)\ \ b > 1 \ \ ならば、a\ は偶数であることを示せ。$
$(3)\ \ ①を満たす整数の組 \ (a,\ b)\ をすべてあげよ。$
$(解説)$
$(1)は底が異なる指数関数だからまともには計算できません。一工夫が必要です。$
$(2)は2項定理を用いましたが、いい手がなかなか思いつかないと思います。$
$(3)はこの指数方程式を解かせるメインの問題ですが、(1)と(2)をつかって解くことになります。$
$\quad 式をながめれば答えは容易に見えてきますが \cdots 。$
(1)
$3^a=2^b+1>1=3^0$
$指数関数 \quad 3^x \quad は単調増加だから \quad 3^a > 3^0 \quad ならば \quad a > 0$
$a\ は整数だから \quad a \geqq 1 $
$すると \quad 2^b=3^a-1 \geqq 3^1 -1 =2 $
$指数関数 \quad 2^x \quad は単調増加だから \quad 2^b \geqq 2^1 \quad ならば \quad b \geqq 1$
$よって \quad a,\ b\ はともに正となる。$
(2)
$3^a=(2+1)^a=2^a+_aC_1 2^{a-1}+_aC_2 2^{a-2}+\cdots + _aC_{a-1} 2+1$
$3^a=2^b+1 \quad だから $
$2^b=3^a-1=2^a+_aC_1 2^{a-1}+_aC_2 2^{a-2}+\cdots + _aC_{a-1} 2$
$両辺を2で割って$
$2^{b-1}=2^{a-1}+_aC_1 2^{a-2}+_aC_2 2^{a-3}+\cdots + _aC_{a-1}$
$b\ が \ 1\ より大きい整数ならば、左辺は \ 2\ の倍数$
$よって _aC_{a-1}=_aC_1=a \ \ は \ 2\ の倍数(偶数)である。$
(3)
(i)$\ \ b=1 \quad のとき$
$\qquad 3^a-2=1 \quad より \quad 3^a=3 \quad \therefore a=1$
(ii)$\ \ b >1 \quad のとき$
$\qquad (2)より \ a\ は \ 2\ の倍数だから \quad a=2k \ \ (kは正の整数)とおける。$
$\qquad 3^a=2^b+1 \quad より \quad 3^{2k}=2^b+1$
$\qquad 3^{2k}-1=2^b \hspace{4em} (3^k+1)(3^k-1)=2^b$
$\qquad よって \quad 3^k+1=2^l,\quad 3^k-1=2^m \quad を満たす正の整数 \ l,\ m\ が存在する。$
$\qquad 3^k=2^m+1 \ \ を \ \ 3^k+1=2^l \ \ に代入すると$
$\qquad (2^m+1)+1=2^l \hspace{4em} 2^m+2=2^l$
$\qquad 両辺を2で割って \quad 2^{m-1}+1=2^{l-1}$
$\hspace{3em} m > 1 ,\quad l > 1 \quad ならば左辺は奇数、右辺は偶数だから矛盾する。$
$\hspace{3em} m > 1 ,\quad l = 1 \quad ならば \quad 2^{m-1}+1=2^0 \qquad 2^{m-1}=0 \quad となって \ \ 2^{m-1} > 0 \ \ に矛盾する。$
$\qquad よって m=1$
$\qquad このとき \quad 2^1+2=2^l \quad より \quad 4=2^l \quad \therefore l=2$
$\qquad 3^k+1=2^l \quad より \quad 3^k=2^2-1=3 \quad \therefore k=1$
$\qquad a=2 \times 1=2$
$\qquad 2^b=3^a-1=3^2-1=8 \quad \therefore b=3$
(i),(ii)$\ \ より \qquad (a,b)=(1,\ 1),\quad (2,\ 3)$
メインメニュー に戻る