静岡大学(数学) 2024年 問題2
$a,\ b,\ c\ を実数とする。x=a+b+c,\ \ y=bc+ca+ab, \ \ z=abc \ \ とおくとき、次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a^2+b^2+c^2 \ \ を \ x,\ y\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ a^3+b^3+c^3\ \ を \ x,\ y,\ z\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ a^3+b^3+c^3-3abc \ \ を因数分解せよ。$
$(4)\ \ 次の等式を満たす実数 \ p,\ q,\ r\ は存在しないことを示せ。$
$\hspace{3em} \dfrac{1}{p}+ \dfrac{1}{q}+ \dfrac{1}{r}= \dfrac{1}{p^2}+ \dfrac{1}{q^2}+ \dfrac{1}{r^2}= \dfrac{1}{p^3}+ \dfrac{1}{q^3}+ \dfrac{1}{r^3}=1$
(1)
\begin{eqnarray*} & &a^2+b^2+c^2\\ \\ &=&(a+b+c)^2-2(bc+ca+ab)\\ \\ &=&x^2-2y \end{eqnarray*}
(2)
\begin{eqnarray*} & &a^3+b^3+c^3\\ \\ &=&(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)\\ \\ &=&(a+b+c)^3-3(a+b)c(a+b+c)-3ab(a+b)\\ \\ &=&(a+b+c)^3-3(a+b)\{c(a+b+c)+ab\}\\ \\ &=&(a+b+c)^3-3(a+b)\{c^2+(a+b)c+ab\}\\ \\ &=&(a+b+c)^3-3(a+b)(c+a)(c+b)\\ \\ &=&x^3-3(x-c)(x-b)(x-a)\\ \\ &=&x^3-3\{x^3-(a+b+c)x^2+(bc+ca+ab)x-abc\}\\ \\ &=&x^3-3(x^3-x^3+xy-z)\\ \\ &=&x^3-3xy+3z \end{eqnarray*}
(3)
\begin{eqnarray*} & &a^3+b^3+c^3-3abc\\ \\ &=&(x^3-3xy+3z)-3z\\ \\ &=&x^3-3xy\\ \\ &=&x(x^2-3y)\\ \\ &=&(a+b+c)\big\{(a+b+c)^2-3(bc+ca+ab)\big\}\\ \\ &=&(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab)\\ \end{eqnarray*}
(4)
$\cfrac{1}{p}=a,\quad \cfrac{1}{q}=b,\quad \cfrac{1}{r}=c \quad とおくと(1),(2) より$
$a+b+c=\cfrac{1}{p}+ \cfrac{1}{q}+ \cfrac{1}{r}=1 \qquad \therefore \ \ x=1 \hspace{10em}①$
$a^2+b^2+c^2=\cfrac{1}{p^2}+ \cfrac{1}{q^2}+ \cfrac{1}{r^2}=1 \qquad \therefore \ \ x^2-2y=1 \hspace{5em}②$
$a^3+b^3+c^3=\cfrac{1}{p^3}+ \cfrac{1}{q^3}+ \cfrac{1}{r^3}=1 \qquad \therefore \ \ x^3-3xy+3z=1 \hspace{2em}③$
$①を②に代入して \quad 1-2y=1 \qquad y=0$
$x=1,\ \ y=0\ \ を③に代入して \quad 1+3z=1 \qquad z=0$
$よって \quad abc=\cfrac{1}{p} \cdot \cfrac{1}{q} \cdot \cfrac{1}{r}=0$
$分母を払うと \ \ 1=0\ \ となって矛盾する。したがって$
$\dfrac{1}{p}+ \dfrac{1}{q}+ \dfrac{1}{r}= \dfrac{1}{p^2}+ \dfrac{1}{q^2}+ \dfrac{1}{r^2}= \dfrac{1}{p^3}+ \dfrac{1}{q^3}+ \dfrac{1}{r^3}=1$
$を満たす実数 \ p,\ q,\ r\ は存在しない。$
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