静岡大学(理系) 2024年　問題4


$空間内に点 \ O,\ A,\ B,\ C,\ D,\ E\ がある。3\ 点 \ O,\ B,\ C\ は一直線上にないとし、これら \ 3\ 点を含む平面を \ \alpha $
$とする。平面 \ \alpha \ はベクトル \ \vec{OA}\ に垂直であり、\vec{OA} \ne \vec{0},\ \ \vec{BD}=s\vec{OA},\ \ \vec{CE}=t\vec{OA}\ \ (0 < t < s < 1)\ \ を満たし$
$ている。また、2\ 点 \ A,\ D\ を通る直線、2\ 点 \ D,\ E\ を通る直線、2\ 点 \ A,\ E\ を通る直線が平面 \ \alpha \ と交わる点を$
$それぞれ \ P,\ Q,\ R\ とする。\vec{OA}=\vec{a},\ \ \vec{OB}=\vec{b},\ \ \vec{OC}=\vec{c}\ \ とするとき、次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ \vec{OP}\ を \ \vec{b}\ と実数 \ s\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ \vec{OQ}\ を \ \vec{b},\ \ \vec{c} \ \ および実数 \ s,\ t\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ 3点 \ P,\ Q,\ R\ が一直線上にあることを示せ。$


(1)

　

$\vec{BD}=s\vec{OA} \ \ より \ \ BD /\!/ OA$

$直線AD\ は平行な \ 2\ 直線 \ OA,\ BD\ がつくる平面OADB$

$上にある。$

$点P\ は直線AD\ 上にあるから、この平面上の点である。$

$また点P\ は平面 \ \alpha \ 上にもあるから、点P\ は \ 2\ 平面の交線$

$OB\ にある。$

$\triangle PAO \sim \triangle PDB \ \ だから$

$PO:PB=OA:BD=1:s$

$sPO=PB \quad よって \quad s\vec{PO}=\vec{PB}$

$-s\vec{OP}=\vec{OB}-\vec{OP}$

$(1-s)\vec{OP}=\vec{OB}$

$\vec{OP}=\cfrac{1}{1-s}\vec{b}$


(2)


$\vec{CE}=t\vec{OA}\ \ より \ \ CE /\!/ OA$

$(1)より \ \ BD /\!/ OA \ \ だから \ \ CE /\!/ BD$

$直線DE\ は平行な \ 2\ 直線 \ CE,\ BD\ がつくる平面DBCE \ 上にある。$

$点Q\ は直線DE\ 上にあるから、この平面上の点である。$

$また点Q\ は平面 \ \alpha \ 上にもあるから、点Qは2\ 平面の交線BC\ にある。$

$BD=sOA, \quad CE=tOA \ \ より \ \ BD:CE=s:t$

$\triangle QDB \sim \triangle QEC \quad だから$

$QB:QC=BD:CE=s:t$

$tQB=sQC \quad よって \quad t\vec{QB}=s\vec{QC}$

$t(\vec{OB}-\vec{OQ})=s(\vec{OC}-\vec{OQ})$

$(s-t)\vec{OQ}=-t\vec{OB}+s\vec{OC}$

$\vec{OQ}=-\cfrac{t}{s-t}\vec{b}+\cfrac{s}{s-t} \vec{c}$


(3)


$直線AE\ は平行な \ 2\ 直線 \ OA,\ CE\ がつくる平面OAEC\ 上にある。$

$点R\ は直線AE\ 上にあるから、この平面上の点である。$

$また、点R\ は平面 \ \alpha \ 上にもあるから、点R\ は \ 2\ 平面の交線OC\ にある。$

$\triangle ROA \sim \triangle RCE \quad だから$

$RO:RC=OA:CE=1:t$

$tRO=RC \quad よって \quad t\vec{RO}=\vec{RC}$

$-t\vec{OR}=\vec{OC}-\vec{OR}$

$(1-t)\vec{OR}=\vec{OC}$

$\vec{OR}=\cfrac{1}{1-t}\vec{c}$


$以上まとめると$

$\vec{OP}=\cfrac{1}{1-s}\vec{b},\quad \vec{OQ}=-\cfrac{t}{s-t}\vec{b}+\cfrac{s}{s-t} \vec{c},\quad \vec{OR}=\cfrac{1}{1-t}\vec{c}$

$したがって$
\begin{eqnarray*} \vec{PQ} &=&\vec{OQ}-\vec{OP}\\ \\ &=&-\cfrac{t}{s-t}\vec{b}+\cfrac{s}{s-t} \vec{c}-\cfrac{1}{1-s}\vec{b}\\ \\ &=&-\big(\cfrac{t}{s-t}+ \cfrac{1}{1-s}\big)\vec{b}+\cfrac{s}{s-t} \vec{c}\\ \\ &=&-\cfrac{s(1-t)}{(s-t)(1-s)}\vec{b}+\cfrac{s}{s-t} \vec{c}\\ \\ &=&\cfrac{s(1-t)}{s-t}\big(-\cfrac{1}{1-s}\vec{b}+\cfrac{1}{1-t} \vec{c}\big)\\ \\ &=&\cfrac{s(1-t)}{s-t}(-\vec{OP}+\vec{OR})\\ \\ &=&\cfrac{s(1-t)}{s-t}\vec{PR}\\ \end{eqnarray*} $よって\ \ 3点 \ P,\ Q,\ R\ は一直線上にある。$


ページの先頭へ↑




メインメニュー　に戻る