信州大学(理系) 2024年 問題2
$実数 \ a\ は \ a > 1\ を満たすとする。このとき、正の実数 \ x\ に対し、x=a\big(1-\dfrac{1}{a}\big)^y \ \ を満たす実数 \ y\ が$
$ただ一つ定まる。この \ y\ を \ y=f(x)\ と表すとき、次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ u,\ v\ を正の実数とするとき、f(u)+f(v)-f(uv)\ \ の値を \ a\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ p,\ q,\ r,\ s\ を正の実数とする。p:q=r:s \ \ のとき、f(p)+f(s)=f(q)+f(r)\ \ であることを示せ。$
(1)
$x=a\big(1-\dfrac{1}{a}\big)^y \ \ を満たす実数 \ y\ は$
$\big(1-\dfrac{1}{a}\big)^y =\cfrac{x}{a} \quad より$
$y=f(x)=\log_{1-\dfrac{1}{a}}\dfrac{x}{a}=\cfrac{\log x -\log a}{\log \big(1-\dfrac{1}{a}\big)}$
$このとき$
\begin{eqnarray*} & &f(u)+f(v)-f(uv)\\ \\ &=&\cfrac{\log u -\log a}{\log \big(1-\dfrac{1}{a}\big)} + \cfrac{\log v -\log a}{\log \big(1-\dfrac{1}{a}\big)}- \cfrac{\log uv -\log a}{\log \big(1-\dfrac{1}{a}\big)}\\ \\ &=&\cfrac{1}{\log \big(1-\dfrac{1}{a}\big)} \big\{(\log u -\log a)+ (\log v -\log a) - (\log uv -\log a)\big\}\\ \\ &=&\cfrac{1}{\log \big(1-\dfrac{1}{a}\big)} \big\{(\log u -\log a)+ (\log v -\log a) - (\log u + \log v -\log a)\big\}\\ \\ &=&-\cfrac{\log a}{\log \big(1-\dfrac{1}{a}\big)}\\ \end{eqnarray*}
(2)
$p:q=r:s \quad より \quad \cfrac{p}{r}=\cfrac{q}{s}=k \quad とおくと \quad p=kr, \quad q=ks$
$(1)より$
\begin{eqnarray*} & &f(p)-f(q)\\ \\ &=&-\cfrac{\log p -\log a}{\log \big(1-\dfrac{1}{a}\big)}+\cfrac{\log q -\log a}{\log \big(1-\dfrac{1}{a}\big)}\\ \\ &=&-\cfrac{\log kr -\log a}{\log \big(1-\dfrac{1}{a}\big)}+\cfrac{\log ks -\log a}{\log \big(1-\dfrac{1}{a}\big)}\\ \\ &=&-\cfrac{\log k+ \log r -\log a}{\log \big(1-\dfrac{1}{a}\big)}+\cfrac{\log k + \log s -\log a}{\log \big(1-\dfrac{1}{a}\big)}\\ \\ &=&-\cfrac{\log r -\log a}{\log \big(1-\dfrac{1}{a}\big)}+\cfrac{\log s -\log a}{\log \big(1-\dfrac{1}{a}\big)}\\ \\ &=&f(r)-f(s) \end{eqnarray*}
$\therefore \ \ f(p)+f(s)=f(q)+f(r) $
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