埼玉大学(理系) 2024年 問題2
$\dfrac{2m-1}{2^k}\ \ (k,\ m \ は自然数)\ \ と表される \ 1\ 未満の分数を$
$\qquad \dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{2^2},\ \dfrac{3}{2^2},\ \dfrac{1}{2^3},\ \dfrac{3}{2^3},\ \dfrac{5}{2^3},\ \dfrac{7}{2^3},\ \dfrac{1}{2^4},\ \dfrac{3}{2^4},\ \cdots ,\ \dfrac{15}{2^4},\ \dfrac{1}{2^5},\ \dfrac{3}{2^5},\ \cdots $
$と並べる。すなわち、次の規則にしたがって並べる。$
$・k\ が小さい方を前(左)に並べる。$
$・k\ が同一ならば、m\ が小さい方を前(左)に並べる。$
$このようにして作った数列の第 \ n\ 項 \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )\ \ を \ a_n \ とする。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a_{1111}\ \ を求めよ。$
\[(2)自然数 \ s\ に対して \ \ \sum_{n=2^{s-1}}^{2^s-1} a_n \ \ を求めよ\]
\[(3) \Big[\sum_{n=1}^{1111} a_n \Big] \ \ を求めよ。ただし、実数 \ x\ に対して、[x]\ は \ x\ 以下の最大の整数を表す。\]
(1)
$k\ が同一な項をまとめて、第 \ k\ 群とする。すなわち$
$第1群 \qquad \dfrac{1}{2}$
$第2群 \qquad \dfrac{1}{2^2},\ \dfrac{3}{2^2}$
$第3群 \qquad \dfrac{1}{2^3},\ \dfrac{3}{2^3},\ \dfrac{5}{2^3},\ \dfrac{7}{2^3}$
$第4群 \qquad \dfrac{1}{2^4},\ \dfrac{3}{2^4},\ \cdots ,\ \dfrac{15}{2^4}$
$\hspace{5em} \vdots$
$各群の末項は$
$第 \ 2\ 群は \quad \dfrac{3}{2^2}=\dfrac{2^2-1}{2^2},\quad 第 \ 3\ 群は \quad \dfrac{7}{2^3}=\dfrac{2^3-1}{2^3},\quad 第 \ 4\ 群は \quad \dfrac{15}{2^4}=\dfrac{2^4-1}{2^4} \cdots \quad だから$
$第 \ k\ 群の末項は \quad \dfrac{2^k-1}{2^k} \quad と表される。$
$また、各群に入る項数は順に、1,\ 2,\ 2^2,\ 2^3,\ \cdots \quad だから第 \ k\ 群の項数は \ \ 2^{k-1} \ \ である。$
$第 \ 1111\ 項が第 \ k\ 群に入るとすると、第 \ 1\ 群から第 \ k-1\ 群までの項数は$
$2^{k-1}-1 < 1111 < 2^k-1 \quad を満たす。$
$2^{k-1} < 1112 < 2^k$
$2^{10}=1024, \quad 2^{11}=2048 \quad だから \quad k=11$
$すなわち、a_{1111}\ は第 \ 11\ 群の数である。$
$第\ 1\ 群から第 \ 10\ 群までの項数は \ \ 2^{10}-1=1023 \ 項$
$第 \ 1024\ 項は 第 \ 11\ 群の第 \ 1\ 項目であるから第 \ 1111\ 項は \quad 1111-1024+1=88 \ \ 項目である。$
$各群の分子は、奇数列だから \ \ 88\ 項目は \quad 2 \times 88 -1=175$
$よって \quad a_{1111}=\cfrac{175}{2^{11}}=\cfrac{175}{2048}$
(2)
$(1)で調べたように、第 \ 1\ 群から第 \ s-1\ 群までの項数は \quad 2^{s-1}-1 \quad だから$
$a_{2^{s-1}}\ は第 \ s\ 群の第 \ 1\ 項目の数で、\cfrac{1}{2^s}$
$a_{2^s-1} \ は第 \ s\ 群の最後の数だから \quad \cfrac{2^s-1}{2^s}$
\[したがって \quad \sum_{n=2^{s-1}}^{2^s-1} a_n \ \ は第 \ s\ 群の項の和である。\]
$第 \ s\ 群の項数は \quad 2^{s-1}、分子は奇数列(等差数列)であるから$
\begin{eqnarray*} \sum_{n=2^{s-1}}^{2^s-1} a_n &=&\cfrac{1}{2^s} \times \cfrac{2^{s-1}}{2}\big(1+(2^s-1)\big)\\ \\ &=&\cfrac{1}{2^s} \times \cfrac{2^{s-1}}{2} \times 2^s\\ \\ &=&2^{s-2} \end{eqnarray*}
(3)
$a_{1111} \ は第 \ 11\ 群の第 \ 88\ 項だから$
$第 \ 1\ 群から第 \ 10\ 群までの和 \quad S_1\ は(2)より$
\[S_1=\sum_{s=1}^{10} 2^{s-2}=\cfrac{\dfrac{1}{2}(2^{10}-1)}{2-1}=2^9-\cfrac{1}{2}\]
$第 \ 11\ 群の和 \quad S_2\ は$
\begin{eqnarray*} S_2 &=&\cfrac{1}{2^{11}} \times (1+3+5+ \cdots + 175)\\ \\ &=&\cfrac{1}{2^{11}} \times \cfrac{88}{2}(1+175)\\ \\ &=&\cfrac{1}{2^{11}} \times 44 \times 176\\ \\ &=&\cfrac{1}{2^{11}} \times 2^2 \times 11 \times 2^4 \times 11\\ \\ &=&\cfrac{11^2}{2^5}\\ \\ &=&\cfrac{121}{32} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{1111} a_n &=&S_1+S_2\\ \\ &=&(2^9-\cfrac{1}{2})+\cfrac{121}{32}\\ \\ &=&512-\cfrac{1}{2}+3+\cfrac{25}{32}\\ \\ &=&515+\cfrac{9}{32}\\ \end{eqnarray*} \[よって \quad \Big[\sum_{n=1}^{1111} a_n \Big] =515\]
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