大阪大学(理系) 2026年 問題5
$さいころ \ 1\ 個を \ 3\ 回連続して投げ、1\ 回目に出た目を \ a、2\ 回目に出た目を \ b、3\ 回目に出た目を \ c\ とする。$
$このとき、a,\ b,\ c\ のなかで最大の数を \ m\ とおき、x=\dfrac{(a+b+c)^2}{3abc} \ \ とおく。$
$(1)\ \ a=b=c \ \ であって、x\ が整数である確率を求めよ。$
$(2)\ \ m=6 \ \ であって、x\ が整数である確率を求めよ。$
$(3)\ \ m\ が偶数であったとき、x\ が整数である条件つき確率を求めよ。$
(1)
$a=b=c \ \ ならば \quad x=\dfrac{(a+b+c)^2}{3abc}=\dfrac{(3a)^2}{3a^3}=\dfrac{3}{a}$
$x\ が整数であるのは \ \ a=1,\ \ 3 \ \ だから$
$(a,\ b,\ c)=(1,\ 1,\ 1),\ \ (3,\ 3,\ 3)\ \ の場合である。$
$その確率は \quad p=\dfrac{2}{6^3}=\dfrac{1}{108}$
(2)
$(予備定理 \ 1)$
$自然数 \ a\ について、a^2\ が \ 3\ の倍数ならば \ a\ は \ 3\ の倍数である。$
$(証明)$
$a\ が \ 3\ の倍数でないとすると、a=3k \pm 1 \ \ (k\ は自然数)\ \ とおける。$
$このとき、a^2=(3k \pm 1)^2=3(3k^2 \pm 2k)+1 \ \ だから \ a^2\ は \ 3\ の倍数でない。$
$これは \ a^2\ が \ 3\ の倍数であることに矛盾するから、a\ は \ 3\ の倍数である。$
$同様にして、a^2 \ が \ 2\ の倍数ならば \ a\ は \ 2\ の倍数である、も成りたつ。$
$対称性から \ \ a \geqq b \geqq c \ \ とする。$
$m\ は \ a,\ b,\ c\ の最大の数だから \ m=6\ のとき \ a=6\ と考えてよい。$
$x=\dfrac{(a+b+c)^2}{3abc}=\dfrac{(6+b+c)^2}{18bc}=\dfrac{(6+b+c)^2}{2 \times 3^2bc}$
$x\ は整数だから、6+b+c \ は \ 3\ の倍数であり、かつ予備定理から \ 2\ の倍数でもある。したがって \ 6\ の倍数である。$
(i)$\ \ b=6,\ c=6\ \ のとき \qquad x=\dfrac{(6+6+6)^2}{2 \times 3^2 \times 6 \times 6}=\dfrac{1}{2} \quad これは不適$
(ii)$\ \ b=5,\ c=1\ \ のとき \qquad x=\dfrac{(6+5+1)^2}{2 \times 3^2 \times 5 \times 1}=\dfrac{8}{5} \quad これは不適$
(iii)$\ \ b=4,\ c=2\ \ のとき \qquad x=\dfrac{(6+4+2)^2}{2 \times 3^2 \times 4 \times 2}=1 \qquad これは適する$
(iv)$\ \ b=3,\ c=3\ \ のとき \qquad x=\dfrac{(6+3+3)^2}{2 \times 3^2 \times 3 \times 3}=\dfrac{8}{9} \quad これは不適$
$以上より \quad (a,\ b,\ c)=(6,\ 4,\ 2)\ \ であるが、 a \geqq b \geqq c \ \ の条件をはずすと$
$ 3!=6 \ 通りあるから 求める確率は \quad p=\dfrac{6}{6^3}=\dfrac{1}{36}$
(3)
$(予備定理\ 2)$
$一般に、a,\ b,\ c\ のなかで最大の数が \ m\ である確率は$
$事象 \ A:\ 3\ つとも \ m\ 以下の目が出る$
$事象\ B : 3\ つとも \ m-1 \ 以下の目が出る$
$とすると \ \ \overline{B}\ は少なくとも \ 1\ つは \ m \ 以上の目が出ることだから$
$事象\ A \cap \overline{B}\ は \ 3\ つとも \ m\ 以下で、少なくとも \ 1\ つは \ m\ の目が出る事象だから、これが、最大値がmである事象$
$求める確率は \quad P(A \cap \overline{B})=P(A)-P(B)=\big(\dfrac{m}{6}\big)^3-\big(\dfrac{m-1}{6}\big)^3$
(i)$ \ \ m\ が偶数である確率 \ p(m)\ は$
$\quad p(6)=\big(\dfrac{6}{6}\big)^3-\big(\dfrac{5}{6}\big)^3=\dfrac{6^3-5^3}{6^3}=\dfrac{91}{6^3}$
$\quad p(4)=\big(\dfrac{4}{6}\big)^3-\big(\dfrac{3}{6}\big)^3=\dfrac{4^3-3^3}{6^3}=\dfrac{37}{6^3}$
$\quad p(2)=\big(\dfrac{2}{6}\big)^3-\big(\dfrac{1}{6}\big)^3=\dfrac{2^3-1}{6^3}=\dfrac{7}{6^3}$
$よって \quad p(m)=p(6)+p(4)+p(2)=\dfrac{91}{6^3}+\dfrac{37}{6^3}+\dfrac{7}{6^3}=\dfrac{135}{6^3}$
(ii)$\ \ m\ が偶数であって、かつ \ x\ が整数である確率を \ \ p(m \cap x)\ \ とおくと$
$(ア)\ \ m=6\ のとき$
$\quad (2)より \ \ p(6 \cap x)=\dfrac{6}{6^3}$
$(イ)\ \ m=4\ のとき$
$\quad 対称性から \ \ a \geqq b \geqq c \ \ とする。$
$\quad m\ は \ a,\ b,\ c\ の最大の数だから \ a=4\ と考えてよい。$
$\quad x=\dfrac{(a+b+c)^2}{3abc}=\dfrac{(4+b+c)^2}{12bc}=\dfrac{(4+b+c)^2}{2^2 \times 3bc}$
$\quad x\ は整数だから、4+b+c\ \ は \ 2\ の倍数であり、かつ予備定理から \ 3\ の倍数でもある。したがって \ 6\ の倍数である。$
$\quad $(i)$\ \ b=4,\ \ c=4\ \ のとき \qquad x=\dfrac{(4+4+4)^2}{3 \times 2^2 \times 4 \times 4}=\dfrac{3}{4} \quad これは不適$
$\quad $(ii)$\ \ b=1,\ \ c=1\ \ のとき \qquad x=\dfrac{(4+1+1)^2}{2 \times 3^2 \times 1 \times 1}=3 \quad これは適する$
$\quad 以上より \quad (a,\ b,\ c)=(4,\ 1,\ 1)\ \ であるが、 a \geqq b \geqq c \ \ の条件をはずすと$
$\quad 3\ 通りあるから \quad p(4 \cap x)=\dfrac{3}{6^3}$
$(ウ)\ \ m=2\ のとき$
$\quad 対称性から \ \ a \geqq b \geqq c \ \ とする。$
$\quad m\ は \ a,\ b,\ c\ の最大の数だから\ a=2\ と考えてよい。$
$\quad x=\dfrac{(a+b+c)^2}{3abc}=\dfrac{(2+b+c)^2}{6bc}$
$\quad x\ は整数だから、2+b+c \ \ は \ 2 \times 3=6\ の倍数である。$
$\quad $(i)$\ \ b=2,\ \ c=2\ \ のとき \qquad x=\dfrac{(2+2+2)^2}{6 \times 2 \times 2}=\dfrac{3}{2} \quad これは不適$
$(ア),(イ),(ウ)より \quad p(m,\ x)=p(6,\ x)+p(4,\ x)=\dfrac{6}{6^3}+\dfrac{3}{6^3}=\dfrac{9}{6^3}$
$したがって\ \ m\ が偶数であったとき、x\ が整数である条件つき確率 \ \ p_m(x)\ は$
$p_m(x)=\dfrac{P(m \cap x)}{p(m)}=\dfrac{9}{6^3} \times \dfrac{6^3}{135}=\dfrac{9}{135}=\dfrac{1}{15}$
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