大阪大学(理系) 2025年　問題2


$p\ と \ m\ を実数とし、関数 \ f(x)=x^3+3px^2+3mx \ \ は \ x=\alpha \ で極大値をとり、x=\beta \ で極小値をとるとする。$
$(1)\ \ f(\alpha)-f(\beta)\ \ を \ p\ と \ m\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ p\ と \ m\ が \ \ f(\alpha)-f(\beta)=4\ \ を満たしながら動くとき、曲線 \ y=f(x)\ の変曲点の軌跡を求めよ。$


(1)

　

$f'(x)=3x^2+6px+3m=3(x^2+2px+m)$

$x^2+2px+m=0 \ \ の \ 2\ つの異なる実数解が、極値をとる \ \alpha,\ \ \beta \ \ だから$

$\dfrac{D}{4}=p^2-m > 0 $

$解と係数の関係より \quad \alpha +\beta =-2p, \quad \alpha \beta=m$

$3\ 次の係数が正の3次関数 において、x=\alpha \ で極大値をとり、$

$x=\beta \ で極小値をとるから \quad \alpha < \beta$

\begin{eqnarray*} & &(\beta -\alpha)^2\\ \\ &=&\alpha ^2+\beta ^2-2\alpha \beta\\ \\ &=&(\alpha +\beta )^2-4\alpha \beta\\ \\ &=&(-2p)^2-4m\\ \\ &=&4(p^2-m) \end{eqnarray*} $\therefore \ \ \beta - \alpha =2\sqrt{p^2-m}$

$f(x)\ を \ f'(x)\ で割った商と余りを求めると$

$f(x)=f'(x)(x+p)+2(m-p^2)x-mp \quad だから$

\begin{eqnarray*} & &f(\alpha) -f(\beta)\\ \\ &=&\big\{2(m-p^2)\alpha -mp\big\}-\big\{2(m-p^2)\beta -mp\big\}\\ \\ &=&2(m-p^2)(\alpha -\beta)\\ \\ &=&2(p^2-m)(\beta -\alpha)\\ \\ &=&2(p^2-m) \times 2\sqrt{p^2-m}\\ \\ &=&4(p^2-m)\sqrt{p^2-m} \end{eqnarray*}

(2)


$f''(x)=3(2x+2p)=6(x+p)$

$f''(x)=0 \ \ より \ \ x=-p \ \ で、この前後で \ f''(x)\ の符号が \ -\ から \ +\ に変わるので点(-p,\ f(p) \ は変曲点である。$

$y=f(-p)=(-p)^3+3p(-p)^2+3m(-p)=2p^3-3mp$

$f(\alpha) -f(\beta)=4 \quad より \quad (p^2-m)\sqrt{p^2-m}=1$

$\therefore \ \ p^2-m=1$

$m=p^2-1 \quad を代入して$

$y=2p^3-3(p^2-1)p=-p^3+3p$

$よって変曲点は$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} x=-p\\ y=-p^3+3p\\ \end{array} \right. \]
$求める軌跡は この2式からパラメータ \ p\ を消去して$

$y=-(-x)^3+3(-x)$

$\therefore \ \ y=x^3-3x$




ページの先頭へ↑



メインメニュー　に戻る