大阪大学(理系) 2025年　問題1


$平面上の三角形 \ OAB\ を考える。\angle AOB\ は鋭角、OA=3,\ \ OB=t\ \ とする。また、点A\ から直線OB\ に$
$下した垂線と直線OB \ の交点を \ C\ とし、OC=1 \ \ とする。線分AB\ を \ 2:1\ に内分する点をP、点A\ から$
$直線OP\ に下ろした垂線と直線OB\ との交点を \ R\ とする。$
$(1)\ \ 内積 \ \ \vec{OA} \cdot \vec{OB}\ \ を \ t\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ 線分OR\ の長さを \ t\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ 線分OB\ の中点を \ M\ とする。点R\ が線分MB\ 上にあるとき、t\ のとりうる値の範囲を求めよ。$


(1)

　
$\angle AOB=\theta \ \ (0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}),\quad \vec{OA}=\vec{a},\ \ \vec{OB}=\vec{b}\quad とおく$

$直角三角形OAC\ \ において \quad \cos \theta=\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{1}{3}$

$\vec{OA}\cdot \vec{OB}=|\vec{OA}||\vec{OB}|\cos \theta=3 \times t \times \dfrac{1}{3}=t$


(2)


$点P\ は線分AB\ を \ \ 2:1\ に内分するから \quad \vec{OP}=\dfrac{1}{3}\vec{a}+\dfrac{2}{3}\vec{b}$

$OR:RB=u:(1-u)\ \ (0 < u < 1)\ \ とおくと$

$\vec{AR}=\vec{AO}+u\vec{OB}=-\vec{a}+u\vec{b}$

$\vec{AR} \perp \vec{OP} \quad だから \quad \vec{AR} \cdot \vec{OP}=0 $

$(-\vec{a}+u\vec{b}) \cdot \big(\dfrac{1}{3}\vec{a}+\dfrac{2}{3}\vec{b}\big)=0$

$(-\vec{a}+u\vec{b}) \cdot (\vec{a}+2\vec{b})=0$

$-|\vec{a}|^2+(u-2)\vec{a}\cdot \vec{b}+2u|\vec{b}|^2=0$

$-9+(u-2)t +2ut^2=0$

$(2t^2+t)u=2t+9$

$\therefore \ \ u=\dfrac{2t+9}{2t^2+t}$

$\vec{OR}=u\vec{b} \quad だから$

$OR=|\vec{OR}|=u|\vec{b}|=\dfrac{2t+9}{2t^2+t} \times t=\dfrac{2t+9}{2t+1}$


(3)


$点R\ が線分MB\ 上にあるのは \quad OM \leqq OR \leqq OB \quad のときだから \quad \dfrac{t}{2} \leqq \dfrac{2t+9}{2t+1} \leqq t$

(i)$\ \ \dfrac{t}{2} \leqq \dfrac{2t+9}{2t+1} \quad より$

$\quad t(2t+1) \leqq 2(2t+9)$

$\quad 2t^2-3t-18 \leqq 0$

$\quad 2t^2-3t-18 =0 \ \ の解は \quad t=\dfrac{3 \pm 3\sqrt{17}}{4} \quad だから$

$\quad \dfrac{3 - 3\sqrt{17}}{4} \leqq t \leqq \dfrac{3 + 3\sqrt{17}}{4}$

(ii)$\ \ \dfrac{2t+9}{2t+1} \leqq t \quad より$

$\quad 2t+9 \leqq t(2t+1)$

$\quad 2t^2-t-9 \geqq 0$

$\quad 2t^2-t-9=0 \ \ の解は \quad t=\dfrac{1 \pm\sqrt{73}}{4} \quad だから$

$\quad t \leqq \dfrac{1 -\sqrt{73}}{4},\quad \dfrac{1 + \sqrt{73}}{4} \leqq t$

(i),(ii)$\ \ を満たす \ ｔ\ は \quad t > 1 ,\quad 1 < \dfrac{1+\sqrt{73}}{4} < \dfrac{3+3\sqrt{17}}{4} \quad に注意して$

$\dfrac{1+\sqrt{73}}{4} \leqq t \leqq \dfrac{3+3\sqrt{17}}{4}$


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