岡山大学(理系) 2018年 問題3
$k\ を実数とし、x\ についての \ 2次方程式\ \ x^2-kx+3k-4=0\ \ を考える。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ x^2-kx+3k-4=0\ \ が虚数解をもつような \ k\ の値の範囲を求めよ。$
$(2)\ \ x^2-kx+3k-4=0\ \ が虚数解 \ \alpha \ をもち、\alpha ^4 \ が実数となるような \ k\ の値をすべて求めよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ は判別式が負を解けばよい。$
$(2)\ \ は \ \alpha ^4 \ が実数であることを式で表します。$
(1)
$\quad D=k^2-4(3k-4) < 0 \ \ であればよいから$
$\quad k^2-12k+16 < 0$
$\quad \therefore \ \ 6-2\sqrt{5} < k < 6+2\sqrt{5}$
(2)
$\alpha ^4 \ が実数だから \qquad \alpha ^4=\overline{\alpha ^4}=(\overline{\alpha})^4$
$\{\alpha ^2+(\overline{\alpha})^2\} \{\alpha ^2-(\overline{\alpha})^2\}=0$
$\{\alpha ^2+(\overline{\alpha})^2\} (\alpha +\overline{\alpha})(\alpha -\overline{\alpha})=0$
(i)$\ \ \alpha ^2+(\overline{\alpha})^2 =0 \quad のとき$
$\quad (\alpha +\overline{\alpha})^2 -2 \alpha \overline{\alpha} =0 $
$\quad 解と係数の関係より$
$\quad k^2-2(3k-4)=0 \qquad k^2-6k+8=0$
$\quad (k-2)(k-4)=0 \qquad \therefore \ \ k=2,\ 4$
$\quad これらは(1)をみたす。$
(ii)$\ \ \alpha +\overline{\alpha} =0 \quad のとき$
$\quad 解と係数の関係より \qquad k=0 $
$\quad これは(1)をみたさない。$
(iii)$\ \ \alpha -\overline{\alpha} =0 \quad のとき$
$\quad \alpha =\overline{\alpha} \quad となりこれは \ \alpha \ が実数であることを示している。$
(i),(ii),(iii)$より \qquad k=2,\ 4$
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