新潟大学(理系) 2026年　問題5


$\alpha=\cos \dfrac{2\pi}{11} + i\sin \dfrac{2\pi}{11} ,\ \ \beta=\cos \dfrac{2\pi}{11} - i\sin \dfrac{2\pi}{11} \ \ とし、$
$A=\alpha +\alpha^3+\alpha^4+\alpha^5+\alpha^9,\quad B=\beta +\beta^3+\beta^4+\beta^5+\beta^9$
$とおく。ただし、i\ は虚数単位とする。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ \alpha^{11}+\beta^{11}\ \ と \ \ \alpha^2-\beta^9\ \ の値をそれぞれ求めよ。$
$(2)\ \ A+B \ \ の値を求めよ。$
$(3)\ \ AB\ \ の値を求めよ。$
$(4)\ \ A-B\ \ の値を求めよ。$


(1)


$k \ を整数として$
\begin{eqnarray*} \alpha^{11-k} &=&\big(\cos \dfrac{2\pi}{11} + i\sin \dfrac{2\pi}{11}\big)^{11-k}\\ \\ &=&\cos \dfrac{2(11-k)}{11}\pi + i\sin \dfrac{2(11-k)}{11}\pi \\ \\ &=&\cos \dfrac{2k}{11}\pi - i\sin \dfrac{2k}{11}\pi\\ \\ &=&\big(\cos \dfrac{2\pi}{11} - i\sin \dfrac{2\pi}{11}\big)^k\\ \\ &=&\beta^k \end{eqnarray*}

　

$右図は、この関係を図示したものである。$

$\alpha^{11}=\big(\cos \dfrac{2\pi}{11} + i\sin \dfrac{2\pi}{11}\big)^{11}=\cos 2\pi + i\sin 2\pi =1$

$\beta^{11}=\big(\cos \dfrac{2\pi}{11} - i\sin \dfrac{2\pi}{11}\big)^{11}=\cos 2\pi - i\sin 2\pi =1$

$よって \quad \alpha^{11}+\beta^{11}=2$

$上の関係から$

$\alpha^2-\beta^9=\alpha^2-\alpha^2=0$


(2)


\begin{eqnarray*} & &A+B\\ \\ &=&(\alpha +\alpha^3+\alpha^4+\alpha^5+\alpha^9)+(\beta +\beta^3+\beta^4+\beta^5+\beta^9)\\ \\ &=&(\alpha +\alpha^3+\alpha^4+\alpha^5+\alpha^9)+(\alpha^{10} +\alpha^8+\alpha^7+\alpha^6+\alpha^2)\\ \\ &=&\alpha +\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4+\alpha^5+\alpha^6 +\alpha^7+\alpha^8+\alpha^9+\alpha^{10}\\ \\ &=&\dfrac{\alpha(1-\alpha^{10})}{1-\alpha}\\ \\ &=&\dfrac{\alpha -1}{1-\alpha}\\ \\ &=&-1 \end{eqnarray*}

(3)


\begin{eqnarray*} & &AB\\ \\ &=&(\alpha +\alpha^3+\alpha^4+\alpha^5+\alpha^9)(\beta +\beta^3+\beta^4+\beta^5+\beta^9)\\ \\ &=&(\alpha +\alpha^3+\alpha^4+\alpha^5+\alpha^9)(\alpha^{10} +\alpha^8+\alpha^7+\alpha^6+\alpha^2)\\ \\ &=&(\alpha^{11} +\alpha^9+\alpha^8+\alpha^7+\alpha^3)+(\alpha^{13} +\alpha^{11}+\alpha^{10}+\alpha^9+\alpha^5)+(\alpha^{14} +\alpha^{12}+\alpha^{11}+\alpha^{10}+\alpha^6)+\\ \\ & &\quad (\alpha^{15} +\alpha^{13}+\alpha^{12}+\alpha^{11}+\alpha^7)+(\alpha^{19} +\alpha^{17}+\alpha^{16}+\alpha^{15}+\alpha^{11})\\ \\ &=&(1+\alpha^9+\alpha^8+\alpha^7+\alpha^3)+(\alpha^2 +1+\alpha^{10}+\alpha^9+\alpha^5)+(\alpha^3 +\alpha + 1+\alpha^{10}+\alpha^6)+\\ \\ & &\quad (\alpha^4 +\alpha^2+\alpha + 1+\alpha^7)+(\alpha^8 +\alpha^6+\alpha^5+\alpha^4+1)\\ \\ &=&5+2(\alpha +\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4+\alpha^5+\alpha^6 +\alpha^7+\alpha^8+\alpha^9+\alpha^{10})\\ \\ &=&5+2 \times (-1)\\ \\ &=&3 \end{eqnarray*}

(4)


$(A-B)^2=(A+B)^2-4AB=(-1)^2-4 \times 3=-11$

$したがって\ \ A-B\ \ は純虚数である。虚部の符号を決定するために$

\begin{eqnarray*} & &A-B\\ \\ &=&(\alpha +\alpha^3+\alpha^4+\alpha^5+\alpha^9)-(\beta +\beta^3+\beta^4+\beta^5+\beta^9)\\ \\ &=&(\alpha +\alpha^3+\alpha^4+\alpha^5+\alpha^9)-(\alpha^{10} +\alpha^8+\alpha^7+\alpha^6+\alpha^2)\\ \\ &=&(\alpha^3- \alpha^2)+(\alpha^9-\alpha^8)+(\alpha -\alpha^{10}) +(\alpha^4-\alpha^6)+(\alpha^5-\alpha^7)\\ \end{eqnarray*}
(i)$\ \ \alpha^3- \alpha^2 \ \ について$

$\quad \arg(\alpha^3)=\dfrac{6}{11}\pi ,\quad \arg(\alpha^2)=\dfrac{4}{11}\pi,\qquad \dfrac{4}{11}\pi < \dfrac{\pi}{2} < \dfrac{6}{11}\pi \ \ だから$

$\quad \dfrac{6}{11}\pi-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{22}, \qquad \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{4}{11}\pi=\dfrac{3}{22}\pi$

$\quad したがって \ \ 点(\alpha^3)\ の方が点(\alpha^2)\ より虚軸に近いから \ \ \alpha^3- \alpha^2 \ \ の虚部は正である。$

(ii)$\ \ \alpha^9- \alpha^8 \ \ について$

$\quad \arg(\alpha^9)=\dfrac{18}{11}\pi ,\quad \arg(\alpha^8)=\dfrac{16}{11}\pi,\qquad \dfrac{16}{11}\pi < \dfrac{3}{2}\pi < \dfrac{18}{11}\pi \ \ だから$

$\quad \dfrac{18}{11}\pi-\dfrac{3}{2}\pi=\dfrac{3}{22}\pi, \qquad \dfrac{3}{2}\pi-\dfrac{16}{11}\pi=\dfrac{\pi}{22}$

$\quad したがって \ \ 点(\alpha^8)\ の方が点(\alpha^9)\ より虚軸に近いから \ \ \alpha^9- \alpha^8 \ \ の虚部は正である。$

$ほかの \ \ \alpha -\alpha^{10},\quad \alpha^4-\alpha^6 ,\quad \alpha^5-\alpha^7 \ \ については明らかに虚部は正である。$

$よって \ \ A-B\ の虚部は正だから \quad A-B=\sqrt{11}i$


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