新潟大学(理系) 2026年　問題4


$k\ を実数とし、f(x)=xe^{2x}-kx \ \ とする。次の問いに答えよ。$
\[(1)\ \ 不定積分 \ \ \int f(x)dx \ \ を求めよ。\] $(2)\ \ 方程式 \ f(x)=0\ が \ x \geqq 0 \ の範囲に \ 2\ つの異なる解をもつときの \ k\ の値の範囲を求めよ。また、このときの$
$\quad 方程式の大きい方の解を a\ とするとき、k\ を \ a\ を用いて表せ。$
\[(3)(2)で与えられた \ a\ が \ \ 0 < a \leqq 1 \ \ の範囲にあるとき、S=\int_0^1|f(x)|dx\ \ を \ a\ を用いて表せ。\] $(4)\ \ (3)において、S\ の最小値とそのときの \ a\ の値を求めよ。$


(1)


\begin{eqnarray*} & &\int f(x)dx\\ \\ &=&\int(xe^{2x}-kx)dx\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}xe^{2x} -\int \dfrac{1}{2}e^{2x}dx -\dfrac{k}{2}x^2\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}xe^{2x} -\dfrac{1}{4} e^{2x} -\dfrac{k}{2}x^2 +C \qquad (Cは積分定数)\\ \\ \end{eqnarray*}

(2)


$xe^{2x}-kx=0$

$x(e^{2x}-k)=0 $

$x=0,e^{2x}=k$

$e^{2x}=k \ \ を満たす \ x\ が \ x > 0\ であればよいから \quad k > 1$

$このとき、k=e^{2a}$


(3)

　

$右図からわかるように$

(i)$\ \ 0 \leqq x \leqq a \ \ のとき$

$\quad e^{2x} \leqq k \ \ だから \quad xe^{2x} \leqq kx \qquad \therefore \ \ f(x) \geqq 0$

(ii)$\ \ a \leqq x \leqq 1 \ \ のとき$

$\quad e^{2x} \geqq k \ \ だから \quad xe^{2x} \geqq kx \qquad \therefore \ \ f(x) \leqq 0$

\begin{eqnarray*} S &=&\int_0^1|f(x)|dx\\ \\ &=&-\int_0^a(xe^{2x}-kx)dx+ \int_a^1(xe^{2x}-kx)dx\\ \\ &=&-\big[\dfrac{1}{2}xe^{2x} -\dfrac{1}{4} e^{2x} -\dfrac{k}{2}x^2\big]_0^a + \big[\dfrac{1}{2}xe^{2x} -\dfrac{1}{4} e^{2x} -\dfrac{k}{2}x^2\big]_a^1\\ \\ &=&-\big(\dfrac{1}{2}ae^{2a} -\dfrac{1}{4} e^{2a} -\dfrac{k}{2}a^2\big)-\dfrac{1}{4}+\big(\dfrac{1}{2}xe^2 -\dfrac{1}{4} e^2 -\dfrac{k}{2}\big) - \big(\dfrac{1}{2}ae^{2a} -\dfrac{1}{4} e^{2a} -\dfrac{k}{2}a^2\big)\\ \\ &=&-ae^{2a} +\dfrac{1}{2} e^{2a} +ka^2-\dfrac{1}{4}+ \dfrac{1}{4} e^2 -\dfrac{k}{2}\\ \\ &=&-ae^{2a} +\dfrac{1}{2} e^{2a} +a^2e^{2a} -\dfrac{1}{4}+ \dfrac{1}{4} e^2 -\dfrac{1}{2}e^{2a}\\ \\ &=&a^2e^{2a} - ae^{2a} + \dfrac{1}{4} e^2 -\dfrac{1}{4}\\ \\ &=&(a^2-a)e^{2a}+ \dfrac{1}{4} e^2 -\dfrac{1}{4}\\ \end{eqnarray*}

(4)


$S'=(2a-1)e^{2a}+2(a^2-a)e^{2a}=(2a^2-1)e^{2a}$

$S'=0 \ \ より \ \ a > 0 \ \ だから \quad a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

　

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} a& 0 & \cdots & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \cdots & 1\\ \hline S' & & - & 0 & + & \\ \hline V& & \searrow & 極小 & \nearrow & \\ \end{array} \]
$S\ は \ a=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \ \ で極小かつ最小となり、最小値は$

$S=-\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}e^{\sqrt{2}} +\dfrac{1}{4}e^2-\dfrac{1}{4}$

$右図は \ \ y=S(a) \ \ のグラフである。$


ページの先頭へ↑




メインメニュー　に戻る